正文描述:《2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷(3)姓名_______一、填空题,每题8分1.设,则2.设为虚数单位,化简3.已知等差数列的前100项之和为100,最后100项之和为1000,则4.集合共有个元素,其中表示不超过x的最大整数。5.若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是6.在如图所示的单位正方体中,设为正方体的中心,点分别在棱上,,则四面体的体积等于7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点,经过的两个焦点,并且与恰有三个交点,则得离心率等于二、简答题8.已知数列满足,。用数学归纳法证明:9.证明:对任意的实数都有并求等号成立的
2、充分必要条件。10.求满足的所有正整数对2017年高中数学竞赛模拟试卷(3)答案一、填空题,每题8分1.设,则解答:由,可得,故,从而2.设为虚数单位,化简解答:由,可得,同理可得故3.已知等差数列的前100项之和为100,最后100项之和为1000,则解答:设等差数列的公差为d,则有,解得4.集合共有个元素,其中表示不超过x的最大整数。解答:设则有,当时,的所有可能值为0,1,2,3.由此得值域,个元素。5.若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是解答:设,则当时,单调递减,当时,单调递增,当时,单调递减,,,当时因此,
3、有三个不同的实根当且仅当6.在如图所示的单位正方体中,设为正方体的中心,点分别在棱上,,则四面体的体积等于解答:以为原点,为轴建立空间直角坐标系,则有由此四面体的体积7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点,经过的两个焦点,并且与恰有三个交点,则得离心率等于解答:不妨设椭圆的方程为,经过的两个焦点,,与恰有三个交点,所以,则得离心率等于一、简答题8.已知数列满足,。用数学归纳法证明:证明:从而对成立。当时假设,由递推公式可得由此,对一切成立。9.证明:对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。证明方法一:两边平方移项合并两边平方展开可得
4、移项合并不等式成立的必要是当不等式等号成立等价于,当时不等式等号成立。综上所述,不等式等号成立的充分必要条件是且或者证明方法二:设向量则根据三角不等式即可得所要证明的不等式,不等号成立的充分必要条件是平行且方向相同。当时,,以下同证明方法一。10.求满足的所有正整数对解答:引理1:在上单调递增,在上单调递减。引理2:当时,由引理1可得有以下情形,情形一:,均满足题设情形二:设则由,可得满足题设条件的只有情形三:易知满足要求。情形四:,设当时所以单调递增,因此,当时,当时,无满足题设条件。综上,所有满足题设条件的正整数为
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