2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（4）.doc

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1、2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（4）姓名_______一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数（）的最小正周期为，则在区间上的最大值为。2．已知集合，，若，则实数的取值范围为。3．函数零点的个数为。4．如图，在正方体中，二面角的大小为。5．在空间四边形中，已知，，，，则。6．已知直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于、两点。为坐标原点，若，则点到直线的距离为。7．已知，若关于的方程（为虚数单位）有实数根，则复数的模的最小值为。8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书

2、的数量互不相同，则不同的分配方法种数为。（用数字作答）9．是定义在的函数，若，且对任意，满足，，则。10．当，，为正数时，的最大值为。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．已知数列的前项和（）。（1）求的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求正整数，使得对任意均有；（3）设，是数列的前项和，若对任意均有成立，求的最小值。12．已知（）。（1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值；（2）若恒成立，求的最大值。13．如图，、为双曲线：的左、右焦点，动点（）在双曲线上的右支上。设的角平分线交轴于点，交轴于点。（1

3、）求的取值范围；（2）设过，的直线交双曲线于点，两点，求面积的最大值。14．求满足下列条件的最小正整数：若将集合任意划分为63个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合），，，…，，则总存在两个正整数，属于同一个子集（）且，。数学竞赛模拟试卷（4）参考答案一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数（）的最小正周期为，则在区间上的最大值为。【答案】【解答】∵，且的最小正周期为。∴，。又时，，∴，即时，在区间上取最大值。2．已知集合，，若，则实数的取值范围为。【答案】【解答】。由，得。∴时，。满足。时

4、，由，得，。满足。时，由，得，。由满足，得，。综合得，。的取值范围为。3．函数零点的个数为。【答案】1【解答】∵。时，；时，。∴在区间上为减函数，在区间上为增函数。又时，，；，。∴函数的零点个数为1。或：作图考察函数与图像交点的个数。4．如图，在正方体中，二面角的大小为。【解答】设正方体棱长为1。作于，连结。由正方体的性质知，。∴，为二面角的平面角，且，。∴。∴二面角的大小为。或：设、交于点，由，得。5．在空间四边形中，已知，，，，则。【答案】7【解答】以，，为基底向量。则。∴，即。∴，∴。∴。6．已知直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于、两点。

5、为坐标原点，若，则点到直线的距离为。【答案】【解答】。显然轴不符合要求。设直线方程为。由，得…………①①的判别式大于0。设，，则，。由，得。∴，。∴点到直线的距离为。7．已知，若关于的方程（为虚数单位）有实数根，则复数的模的最小值为。【答案】1【解答】设（，），是方程的一个实数根。则。∴。由②得，，代入①，得，，。∴，当且仅当时等号成立。∴的最小值为1。（，或，，即）。8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为。（用数字作答）【答案】216【解答】∵将16分解成4个互不相同

6、的正整数的和有9种不同的方式：，，，，，，，，。∴符合条件的不同分配方法有种。9．是定义在的函数，若，且对任意，满足，，则。【答案】【解答】∵对任意，，∴又，∴。∴。∴。10．当，，为正数时，的最大值为。【解答】∵，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立。∴。∴，当且仅当，，即时等号成立。∴的最大值为。注：本题利用待定系数法。将拆成两项和。由，，以及，得。由此得到本题的解法。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．已知数列的前项和（）。（1）求的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求正整数，使得对任意均有

7、；（3）设，是数列的前项和，若对任意均有成立，求的最小值。【解答】（1）由，得。两式相减，得。∴，数列为等比数列，公比。由又，得，。∴。（2）。由计算可知，，，，。当时，由，得当时，数列为递减数列。于是，时，。∴时，。因此，，。∴对任意均有。故。（3）∵………15分∴。∵对任意均有成立，∴。的最小值为。12．已知（）。（1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值；（2）若恒成立，求的最大值。【解答】（1）。依题意，有。解得，，。∴，。……………………………………5分（2）设，则，。①时，定义域，取使得，得。则与矛盾。∴时，不恒成立，即不符合要求

8、。………………10分②时，（）。当时，；当时，。∴在区间上为增函数，在区间上为减函数。∴在其定义域上有最大值，最大值为。由，得。∴。…………………………………15分∴。设，则。∴