浙江省镇海中学2017-2018学年高中数学竞赛模拟(二)试题.doc

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1、2017-2018学年镇海中学数学竞赛模拟试卷（2）姓名_______1．若集合，，，则集合最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。（）A．B．C．D．2．若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．3．如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A．B．C．D．4．中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D

2、．既不充分也不必要条件5．已知函数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．6．记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A．2B．C．D．1二、填空题（每小题8分，共64分）7．数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是．8．省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值

3、2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有种．9．已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为．10．已知，则的取值范围为．11．已知是偶函数，时，(符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为．12．已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为．13．方程的正整数解为（写出所有可能的情况)．14．一个有限项的数列满足：任何3个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值

4、为．三、解答题（共56分）15．已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．16．如图，椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，焦点为，四边形的内切圆半径为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，试证为定值，并求出此定值．17．已知函数，直线为曲线的切线．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．试卷答案一、选择题1．D解：依题意，，．由，

5、知；，知或．所以，或，即．2．A解：当时，函数的值域为，当时，，即时，，且时恒成立．∴，的取值范围为．3．B解：如图，设(在上，在上，在上)．由，，知，，．∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧)长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．4．C解：．5．D解法1令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为解法二：关于中心对称且在实数上为

6、增函数．6．B解：可以不妨设，因为，所以，故所以，，所以（当且仅当时取等号)二、填空题7．小乐，小强，小明．8．42解：分两类(1)甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2)甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42种方法．9．．解法一：函数视作为的函数问题等价于对于，由于，所以所以问题等价于，即，所以．解法二：由题意得对于则只需设此时所以对于只需，所以．解法三：若对任意的，存在使得当时符合条件；当时等价于若对任意的，存在使得或．若则因为，所以．所以函数在为减函数，在为增函数所以当时，进而

7、有；当时，进而有；所以．②若，则．所以应有：这与矛盾，舍去．综上：．10．解：由及有，所．11．解：作出函数与的草图(如图所示)．易知直线恒过点，是方程的一个根．从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴的取值范围为．12．解：极点在右焦点的极坐标方程为，所以，，从而，可得，，所以直线的斜率为．13．解：．∴，∴，．由，知，因此，．∴，若，则，，．将，代入题中方程，得．若，则，．由知，不存在．若，则．以，，又，因此，．经验证只有符合．将代入题中方程，得．∴符合条件的正整数解有或．1

8、4．5解：一方面可以构造5项的数列：符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．否则取出前6项，作出如下排列：由每行的和为负数，知这12个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12个数之和为正数．矛盾．三、解答题15．解：（Ⅰ）函数的图像恒过定点，点的坐标为又因为点在上，则即，∴（Ⅱ）即，∴由图像可知：，故的取值范围为．（Ⅲ），∴，．16．解：（Ⅰ）如图所示，设四边形的内切圆与边的切点为，连接．由，，得．又，，解得，故椭圆的方程为．（Ⅱ）根据巳知条件，可设直线的方程为，代入椭圆