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《2017-2018学年高中数学苏教版选修4-2教学案：2章末小结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、[对应学生用书P47]考情分析矩阵与变换是新增内容，限制了矩阵为二阶矩阵，因此运算求解难度都不大，大多为基础题，考查基本概念与方法.真题体验1.(福殛髙考)设曲线2x2+2xy+y2=在矩阵4=(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=l.(1)求实数d,b的值；(2)求/的逆矩阵.所以2+yf2=1,解：(1)设曲线2x2+2xy+y2=上任一点P(x,y)在矩阵/对应变换下的像是P(",「gon"ax=ax9八，则Lj—上1_—■加+儿得"=bx+y,又点P(“,)在/+尹2=1上,即a2x2+(bx+y)2=lf整理
2、得(a2+b2)x2+2bxy+y2=.[a2+b2=2,Q=l,解得或"[2/)=2,0=1，依题意得a=—l,b=.因为。>0,所彳ib=l.ri01(2)由(1)知，]所以A2=9(才尸="110_-210'L"1010_21_2.(江苏高考)已知矩阵力=向量求向量使得A，a=P・解:a2=1JL2"3.4T3.3x+2y=},从而〕4x+3y=2.解得X=—1,y=2,所以么高频例析［对应学生用书P47］求矩阵、逆矩阵掌握矩阵、逆矩阵的概念，矩阵相等的定义，二阶矩阵与平面向量的乘法规则，两个二阶矩阵的乘法法则及简单
3、性质，会求逆矩阵，会用系数矩阵的逆矩阵或二阶行列式求解二元一次方程组.［例1］求矩阵/=;;的逆矩阵.［解］设A~［Ja根据可逆矩阵的定义,LCd」■12;][::]a+3c即2a+5cb+3d2b+5dLOO'Lq+3c=1,根据矩阵相等得仁+“。b+3d=0,以及2h+5d=l.解得q=—5,b=3,c=2,d=—1，所以A~］=L2-1J［例2］设矩阵力=:；,X=［；］〃=［；］试解方程AX=B.「2ll［解］由于力=r，21而det(/4)=3£=2X2—1X3=1HO,系数矩阵/可逆，此时方程组有唯一解,而A~x=det
4、⑷det⑷-12所以X=A^[B-122X1—1X2]「0]一3X1+2X2」—Ll」考点二求曲线在平面变换下的方程常握平面变换与对应矩阵之I'可的相互转化关系，理解矩阵乘法与复合变换之I'可的关系.［例3］二阶矩阵和71/2对应的变换对正方形区域的作用结果如下图.(1)分别写出一个满足条件的矩阵Mx和(2)根据(1)的结果，令M=M2M^求直线x-y-l=0在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程.［解］⑴观察图形可知，Mi对应的变换为横坐标不变，纵坐标缩短为原来的的伸缩变换，胚对应的变换为逆时针方向旋转号的旋转变换,(2)M=-1■10
5、"■_°2.120_"1(T_o-r故M=_°2.,m2=_10.设直线x~y~=0上任意一点戶血，为)在矩阵M对应的变换作用下的对应点P(x,~2x.~XQin_尹」0_・Xo・~y~因为一1=0,.y+2x~1=0.故所求曲线方程为2x+y~=0.a>0,b>0).［例4］设矩阵M=a_o(1)若0=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵⑵若曲线c：X2+/=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线c':亍+尸=1，求b的值.解：(1)设矩阵M的逆矩阵“J，&乃」■1_00'L'20",所以"2;1■10_.03.-03」力」L.0
6、1J又M=所以2xi=1,2y}=0,3^2=0,3力=1,1八八1=刁必=0,兀2=0,力=亍,故所求的逆矩阵Af_l=-丄2(2)设曲线C上任意一点P(xty)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点戸‘(,”)，L0__0b_xz,即"J-J,-则ax=x,{2又点卩'(Xf,jZ)在曲线c‘上，所以—+yr2=1,22则^~+b2y2=为曲线C的方程.又已知曲线C的方程为x2+y2=f故/=4,b2=.又67>0,/)>0,所以a=2,b=.特征值与特征向量理解特征值、特征向量的概念，会求一个二阶矩阵的特征多项式，特征
7、值及每个特征值对应的一个特征向量；能够计算多次变换的结果；应用二阶矩阵的特征值、特征向量求解实际问题.［例5］(江苏高考)己知矩阵/的逆矩阵A^=丄~41_23"4］,求矩阵/的特征值.2_解:•:A~lA=E,・・・/=X】)T.丄3_441122_,:.A=(A'^'223"1.•••矩阵/的特征多项式为•/W=2-2-3-2x-1=A2—3z—4.令Xz)=O,解得矩阵力的特征值21=—1,_121_2［例6］给定矩阵旳=久2=4.；」，向量"［；］⑴求M的特征值及对应的特征向量©,02；(2)确定实数/»,n使向量a可表示为a
8、=me+ne2(3)利用⑵中表达式间接计算沪％・［解］⑴特征多项式・佩)==(A-l)2-4,_1令・/(2)=0，待久1=3,乂2=—1・"的特征值21=3对应的特征向量©=［］］特征值久2=—1对应的特征向量纟2
