2017-2018学年高中数学模块综合检测教学案苏教版选修4-2

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1、苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案模块综合检测(时间：100分钟，总分100分)1．(本小题满分10分)曲线9x2＋4y2＝1在→＝伸压变换下变成另一曲线C，求曲线C的方程．解：伸压变换矩阵为M＝，由＝，得即其中点P(x，y)在曲线9x2＋4y2＝1上，所以有92＋42＝1，即x′2＋y′2＝1.故曲线C的方程为x2＋y2＝1.2．(本小题满分10分)二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直

2、线m：x－y－4＝0，求l的方程．解：(1)设M＝，则有＝，＝，所以且解得所以M＝.(2)因为＝＝，且x′－y′－4＝0，所以(x＋2y)－(3x＋4y)－4＝0，整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.3．(本小题满分10分)已知M＝，N＝，求二阶方阵X，使MX＝N.解：设X＝，据题意有＝，根据矩阵乘法法则有5苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案解得所以X＝.4.(本小题满分10分)变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝.(1)求点

3、P(2,1)在T1作用下的点P′的坐标；(2)求曲线2x2－2xy＋y2＝1先在T1旋转变换作用下，后在T2变换的作用下所得曲线的方程．解：(1)由题意知M1＝，故M1＝＝，所以点P(2,1)在T1作用下的点P′的坐标是(－1,2)．(2)由题意得M＝M2M1＝，设是变换后的图像上任意一点，与之对应的变换前的点是，则M＝，也就是即代入2x－2x0y0＋y＝1，得2y2－2y(y－x)＋(y－x)2＝1，即x2＋y2＝1.所以所求曲线的方程是x2＋y2＝1.5．(本小题满分10分)在直角坐标系中，已知△ABC的顶

4、点坐标为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积．这里M＝，N＝.　解：在矩阵N＝的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形，在矩阵M＝的作用下，一个图形变换为与之关于直线y＝x对称的图形．所以△ABC在矩阵MN的作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为×2×1＝1.6．(本小题满分10分)已知矩阵A＝，B＝.　5苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案(1)计算AB；(2)若矩阵B把曲线：x2－y2＝

5、1变为曲线C′，求曲线C′的方程．解：(1)AB＝.(2)任取直线l上一点P(x，y)，经矩阵B变换后为点P′(x′，y′)，则＝＝，∴∴代入x2－y2＝1，得(x′＋2y′)2－y′2＝1，∴x′2＋4x′y′＋3y′2＝1.∴曲线C′的方程为x2＋4xy＋3y2＝1.7．(本小题满分10分)已知二阶矩阵A的特征值λ1＝3及其对应向量α1＝，特征值λ2＝－1及其对应向量α2＝，求矩阵A的逆矩阵A－1.解：设二阶矩阵A＝(a，b，c，d∈R)，则有＝3，且＝－，即且解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1.所以A＝，

6、从而A－1＝.8．(本小题满分10分)给定矩阵M＝及向量α＝.　(1)求矩阵M的特征值及与各自对应的一个特征向量e1，e2；(2)确定实数a，b，使向量α可以表示为α＝ae1＋be2；(3)利用(2)中的表达式计算M3α，Mnα.解：(1)矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．令f(λ)＝0，解得矩阵M的特征值λ1＝－4，λ2＝7.5苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量e1＝，属于特征值λ2＝7的一个特征向量e2＝

7、.(2)由(1)可设＝a＋b，解得a＝1，b＝3，所以α＝e1＋3e2.(3)M3α＝M3(e1＋3e2)＝M3e1＋3M3e2＝(－4)3×＋3×73×＝＝.Mnα＝Mn(e1＋3e2)＝Mne1＋3Mne2＝(－4)n×＋3×7n×＝.9．(本小题满分10分)曲线x2＋4xy＋2y2＝1在二阶矩阵M＝的作用下变换为曲线x2－2y2＝1.(1)求a，b的值；(2)求M的逆矩阵．解：(1)设P(x，y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上与P对应的点，则＝，即，代

8、入得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，即(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，即为方程x2＋4xy＋2y2＝1，比较系数得，解得a＝2，b＝0.(2)因为det(M)＝＝1≠0，故M－1＝＝.5苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案10．(本小题满分10分)已知矩阵A＝(BC)－1，其中B＝，C＝，求A特征值λ1，λ2及对应的特