2017-2018学年高中数学章末小结教学案苏教版选修4-2

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1、苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案章末小结知识整合与阶段检测[对应学生用书P47]考情分析矩阵与变换是新增内容，限制了矩阵为二阶矩阵，因此运算求解难度都不大，大多为基础题，考查基本概念与方法．真题体验1．(福建高考)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．解：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′，y′)，则＝＝得又点P′(x

2、′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.依题意得解得或因为a＞0，所以(2)由(1)知，A＝，A2＝＝，所以

3、A2

4、＝1，(A2)－1＝.2．(江苏高考)已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解：A2＝＝.5苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案设α＝.由A2α＝β，得＝，从而解得x＝－1，y＝2，所以α＝.求矩阵、逆矩阵掌握矩阵、逆矩阵的概念，矩阵相等的定义，二阶矩阵与平面向量的

5、乘法规则，两个二阶矩阵的乘法法则及简单性质，会求逆矩阵，会用系数矩阵的逆矩阵或二阶行列式求解二元一次方程组．[例1]　　求矩阵A＝的逆矩阵．[解]　设A－1＝，根据可逆矩阵的定义，则＝，即＝，根据矩阵相等得以及解得a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1，所以A－1＝.[例2]　设矩阵A＝，X＝，B＝，试解方程AX＝B.[解]　由于A＝，而det(A)＝＝2×2－1×3＝1≠0，系数矩阵A可逆，此时方程组有唯一解，5苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案而A－1＝＝，所以X＝A－1B＝＝＝

6、.即求曲线在平面变换下的方程掌握平面变换与对应矩阵之间的相互转化关系，理解矩阵乘法与复合变换之间的关系．[例3]　二阶矩阵M1和M2对应的变换对正方形区域的作用结果如下图．(1)分别写出一个满足条件的矩阵M1和M2；(2)根据(1)的结果，令M＝M2M1，求直线x－y－1＝0在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程．[解]　(1)观察图形可知，M1对应的变换为横坐标不变，纵坐标缩短为原来的的伸缩变换，M2对应的变换为逆时针方向旋转的旋转变换，故M1＝，M2＝.(2)M＝＝，设直线x－y－1＝0上任意一点

7、P(x0，y0)在矩阵M对应的变换作用下的对应点P′(x，y)，则＝＝，∴5苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案因x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0.故所求曲线方程为2x＋y－1＝0.[例4]　设矩阵M＝(其中a＞0，b＞0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．解：(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，则MM－1＝.又M＝，所以＝，所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,

8、3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩阵M－1＝.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1，则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故又a＞0，b＞0，所以特征值与特征向量5苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案理解特征值、特征向量的概念，会求一个二阶矩阵的特征多项式，特征值及每个特征值对应的一个特征向量；能够计算多次

9、变换的结果；应用二阶矩阵的特征值、特征向量求解实际问题．[例5]　(江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.∵A－1＝，∴A＝(A－1)－1＝.∴矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.[例6]　给定矩阵M＝，向量α＝.(1)求M的特征值及对应的特征向量e1，e2；(2)确定实数m，n使向量α可表示为α＝me1＋ne2；(3)利用(2)中表达式间接计算M2008α.[解]　(1

10、)特征多项式f(λ)＝＝(λ－1)2－4，令f(λ)＝0，得λ1＝3，λ2＝－1.M的特征值λ1＝3对应的特征向量e1＝，特征值λ2＝－1对应的特征向量e2＝，(2)因为α＝me1＋ne2，所以＝m＋n，即m＝4，n＝－3，(3)M2008α＝M2008(4e1－3e2)＝4(M2008e1)－3(M2008e2)＝4(λe1)－3(λe2)＝4×32008－3×(－1)2008＝.5