2017-2018学年高中数学矩阵的简单应用教学案苏教版选修4-2

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1、苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案矩阵的简单应用设λ1、λ2是二阶矩阵A的两个不同的特征值，α1、α2是A的属于特征值λ1、λ2的特征向量，对于任意的非零向量β，设β＝t1α1＋t2α2(t1，t2∈R)，则有Anβ＝t1λα1＋t2λα2(n∈N*)．Anα(n∈N*)的求法[例1]　　已知矩阵M＝，β＝.(1)求出矩阵M的特征值和特征向量；(2)计算M4β，M10β，M100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？[思路点拨]　(1)先求出矩阵M的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向量；(2)利用Anβ＝t1λα1＋t2

2、λα2(λ1、λ2是矩阵A的特征值，α1、α2是λ1、λ2的特征向量，β＝t1α1＋t2α2)计算；(3)由Mnβ中n的变化情况与计算结果即可发现规律．[精解详析]　(1)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)，令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.所以它们对应的特征向量为α1＝，α2＝.(2)令β＝mα1＋nα2，则有m＋n＝，解得m＝2，n＝1，即β＝2α1＋α2.所以M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝2×14×＋24×＝.13苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案同理可得，M10β＝，M1

3、00β＝.(3)当n很大时，可近似的认为Mnβ＝Mn(2α1＋α2)≈Mnα2＝2n＝.求Anα的一般步骤为：第一步：求矩阵A的特征值λ和相应的特征向量ξ；第二步：把向量α用ξ1，ξ2线性表出，即α＝t1ξ1＋t2ξ2；第三步：由公式计算Anα＝t1λξ1＋t2λξ2.1．已知矩阵A的一个特征值为3，对应特征值3的特征向量α＝，求A100α.解：A100α＝λ100α＝3100＝.2．给定矩阵A＝，B＝.(1)求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；(2)求A4B.解：(1)设λ为A的特征值，由f(λ)＝＝λ(λ－2)－3＝0，解得λ1＝－1，λ2＝

4、3.当λ1＝－1时，由＝－，得A属于特征值－1的特征向量为α1＝.同理，A属于特征值3的特征向量为α2＝.(2)设B＝mα1＋nα2＝＋，得解得所以B＝α1＋α2.因此A4B＝A4(α1＋α2)＝(－1)4α1＋34α213苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案＝＋＝.矩阵方幂An的求法[例2]　设A＝，利用矩阵的特征值和特征向量计算An.[思路点拨]　先求出矩阵A的特征值λ1，λ2与其对应的特征向量α1，α2，然后利用Anα＝λnα，并令An＝，最后利用待定系数法建立二元方程组求得a，b，c，d.[精解详析]　A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4

5、)(λ－2)－15＝λ2－6λ－7＝0，令f(λ)＝0，得A的特征值为λ1＝7，λ2＝－1.对λ1＝7，解相应的线性方程组可得α1＝为矩阵A的属于特征值λ1＝7的特征向量．对λ2＝－1，解相应的方程组，可得α2＝为矩阵A的属于特征值λ2＝－1的特征向量．于是Aα1＝＝7·Aα2＝＝－1·.显然An＝7n，An＝(－1)n.设An＝，则有＝，＝，所以解得a＝，b＝，c＝，d＝，13苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案所以An＝.矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征向量与特征值对计算进行设计、转化．一般步骤为：(1)求二

6、阶矩阵A的特征方程的根λ1，λ2，并分别求出对应的一个特征向量X1，X2，令X1＝，X2＝；(2)设An＝，根据AnX1＝λX1，AnX2＝λX2，得＝，＝；(3)解方程组和即可求得An.3．已知A＝，求A10.解：特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－1＝λ2－2λ，令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝0，λ2＝2，对λ1＝0，解相应的线性方程组可得α1＝是矩阵A属于特征值λ1＝0的一个特征向量．对λ2＝2，解相应的线性方程组可得α2＝是矩阵A的属于特征值λ2＝2的一个特征向量．于是，Aα1＝＝0·，Aα2＝＝2.显然，A10＝，A10＝210.设A10

7、＝，则有＝；13苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案＝＝.所以解得a＝512，b＝512，c＝512，d＝512.所以，A10＝.4．已知A＝，求An.解：特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)λ－3＝λ2－2λ－3.解方程λ2－2λ－3＝0，求得特征值λ1＝－1，λ2＝3.对于λ1＝－1，解相应的线性方程组得是属于λ1的一个特征向量．对λ2＝3，解相应的线性方程组得是属于λ2的一个特征向量．于是A＝－，A＝3，显然An＝(－1)n，①An＝3n.②设An＝，代入①②得＝(－1)n，＝3n，∴＝，＝.∴解得因此An＝.13苏教版2017-2018学

8、年高中数学选修4-2教学案矩阵的实际应