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《2017-2018学年高中数学苏教版选修4-2教学案：2矩阵的简单应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、矩阵的简单应用设石、久2是二阶矩阵力的两个不同的特征值，血、©是力的属于特征值山、久2的特征向量，对于任意的非零向量0,设fl=tiai+t2a2(tit^R)，则有Anfl=tMai+t^a2(neN*).才点一高频考点题组化.名师一点就通［对应学生用书P42］力妆(/7丘1<)的求法［例1］已知矩阵必=；；,"=［；］(1)求出矩阵M的特征值和特征向量；(2)计算Af,(x)/?；(3)从第⑵小题的计算中，你发现了什么？［思路点拨］(1)先求出矩阵M的特征多项式，求出轮征值，再求出与其对应的轮征向量；(2)利用才”=巾畑+翻血仙、久2是矩阵/的特征值,的
2、、G是右、局的特征向量，0=/］么
3、+(2。2)计算；(3)由中h的变化情况与计算结果即可发现规律.［精解详析］(1)矩阵M的特征多项式为久一1—1JW=0—2F-1)(—2)，令./(久)=0，解得久［=1,2-2=2.所以它们对应的特征向量为血=匚］©=［；］(2)令“=加么［+/7么2，.「1］「1］「3］则有加°+〃］=］，解得加=2,”=1,即fl=2a+a2.所以A//?=Ari(2«i+a2)=2A/ai+/W4a2=24ai+4a2=2Xl4X[>4：H18"16.2,0+2100+212】o2ioo(3)当〃很大时，可近似的认为T_2+
4、a2)^M,1a2=2n［方法•规律•小结］・求力7的一般步骤为：第一步：求矩阵/的特征值久和相应的特征向量&第二步：把向量Q用&,虽线性表出，即么=佰+『2虽;第三步：由公式计算Ana=t^+t2A^2.1.己知矩阵力的一个特征值为3,对应特征值3的特征向暈求解:叫=3100.3.lOOn3,012.给定矩阵aJIro_21⑴求乂的特征值八走及对应的特征向量如,«2；(2)求A4B.解：（1）设久为/的特征值,2—2—1由妙=_3严一2)—3=0,解得久1=—1,久2=3.r?当久1=一1时,L310_*J-得/属于特征值一1的特征向量为a=4]同理，力
5、属于特征值3的特征向量为討;]m(2)设B=ma+na^=—3mW7+77=2,~3m+n=—2加=1,解得n=.所以B=CC
6、+因此A4B=y((zl+a2)=(-l)4«i+34«2・r+"8r"82"_-3._81__78_Iexjbil矩阵方專才的求法4_5［例2］设/=°「利用矩阵的特征值和特征向量计算北-—32.［思路点拨］先求出矩阵/的特征值入，久2与其对应的特征向量如，«2,然后利用/AZ「°们=27,并令才=*,最后利用待定系数法建立二元方程组求得a,b,c,d.Lcd」［精解详析］/的特征多项式A-45=(z-4)(A-2)-15=x
7、2-6A-7=0,令f(A)=Of得力的特征值为小=7,久2=—1.3x+5y=0.对小=7,解相应的线性方程组仁“八［3x+5y=0,「51可得血=c为矩阵/的属于特征值小=7的特征向量.对久2=-1，解相应的方程组〔3x—3y=0可得为矩阵力的属于特征值久2=—1的特征向量.a;]于是力设才=「:〕,则有Lcd」5a~3bl「5・7旷5c—3d」—L—3・7：「5a—3b=5・7",5c_3d=_3・7"，d+b=(—l)",.c+d=(—1)".解得a=57+3(—1)〃8一5・7〃+5(—1)〃8一3・7〃+3(—1)〃=83・7〃+5(—1)〃d=
8、8一5・7"+3(—1)〃一5・7〃+5(—1广88一3・7"+3(—1)"3・7"+5(—1)〃_88_[方法•规律•小结]矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征向量•与特征值对计算进行设计、转化.一般步骤为:⑴求二阶矩阵力的特征方程的根2p22,并分别求出对应的一个特征向量X，X“令X]—ab⑵设才七」，根据估=宓"2叽得La"nMl/I-LmiJd.⑶解方程组am+bn=久伽G加2+如2=眉加2cm+dn=X{n{,C加2+如2=久彻2,即可求得〃〃儿題值*^//////rinin3.己知/=]],求d°.解：特征多
9、项式为A-1/u)=,=(A-1)2-1=A2~2z,令/（久）=0,解得矩阵/的特征值久
10、=0,久2=2,—X—v=0,对Ai=0,解相应的线性方程组“[-x-y=0,可得血=[_]]是矩阵力属于特征值久1=0的一个特征向量.对22=2,解相应的线性方程组{x—y=O,【一x+p=O,打］是矩阵/的属于特征值久2=2的一个特征向量.可得«2显然，~a+bpi—•1024-.c+d-_210_」024_设d°=H—b=O,c—d=0,所以彳a+b=1024,■c+〃=1024・解得q=512,b=512,c=512,d=512.所以，A10—「512L512
11、512'512.「2113.已知力=30，求/"•解
