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时间:2018-07-23
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1、苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案2.3.2 矩阵乘法的简单性质1.矩阵的乘法只具有结合律,即(AB)C=A(BC),不满足交换律和消去律,即AB≠BA,若AB=AC,则一般情况下B≠C.2.二阶矩阵的幂Mn=矩阵乘法的性质[例1] (1)设A=,B=,验证:若AB≠BA,则(AB)2≠A2B2;(2)求证:当AB=BA时,(AB)2=A2B2,(其中A、B均为二阶矩阵).[思路点拨] (1)利用矩阵乘法法则直接验证;(2)依据条件,利用矩阵的乘法具有结合律进行验证.[精解详析] (1)AB==,BA==,∴AB≠BA.A2===,B2===
2、,∴A2B2==.又∵(AB)2===,∴(AB)2≠A2B2.故若AB≠BA,则(AB)2≠A2B2.(2)∵AB=BA,∴(AB)2=(AB)(AB)=A(BA)B=A(AB)B=(AA)(BB)=A2B2.8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案(1)矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律.(2)根据矩阵乘法满足结合律可知,多个矩阵相乘时,无论先进行哪两个相邻矩阵的乘积均不影响最终结果.1.计算.解:原式===.2.设A=,B=,C=,求A(BC)和(AB)C,并判断它们是否满足结合律.解:因为BC==,AB==,所以A(BC)==,(A
3、B)C==.显然,有A(BC)=(AB)C.因此满足结合律.二阶矩阵的幂运算[例2] 设A=,求A2,A3,猜想An(n∈N*)并证明你的猜想.[思路点拨] 先利用矩阵乘法法则求A2、A3,猜想An,然后用数学归纳法证明.[精解详析] A2==,A3=A2A==,8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案猜想An=其中n∈N*,n≥2.下面用数学归纳法证之:(1)当n=2时,由以上计算可知猜想成立.(2)假设n=k时猜想成立,即Ak=.当n=k+1时,Ak+1=Ak·A==,故n=k+1时猜想也成立.由(1)和(2)可知,对任意n∈N*(n≥2),都
4、有An=.求矩阵具体数幂的运算可依据Mn= 求解.若求矩阵一般字母幂的运算可利用数学归纳法求之.3.计算4.解:4====.4.已知A=,求A2,A3,并据此猜想An(n≥2,n∈N*),并加以证明.解:A2===.A3=A2·A==8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案=.据此猜想An=.下面用数学归纳法证明:(1)由以上可知当n=2时,猜想成立.(2)假设n=k(k≥2)时,猜想成立.即Ak=.当n=k+1时,Ak+1=Ak·A===.即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)可知对一切n≥2,n∈N*都有An=.1.已知A=,B=,C=,计
5、算AB,AC.解:AB==,AC==.2.已知矩阵A=,求A4,A5,A9.解:因为A2==,所以A4=A2·A2==,A5=A·A4==.8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案A9=A4·A5==.3.求使等式=M成立的二阶矩阵M.解:设M=,则M===.∴∴a=1,b=-2,c=3,d=-5.∴M=.4.(1)构造两个矩阵A,B,使它们不满足AB=BA;(2)构造两个矩阵A,B(A,B均不为零矩阵),使AB=成立;(3)构造一个矩阵A(A既不是零矩阵,也不是单位矩阵),使A2=A成立;(4)构造一个矩阵B(B不是零矩阵),使得B2=成立.解:
6、(1)如A=,B=;(2)如A=,B=;(3)如A=;(4)如B=.5.设数列{an},{bn}满足an+1=2an+3bn,bn+1=2bn,且满足=M,试求二阶矩阵M.解:由题意得=,令A=,则===A2.∴=A4,∴M=A4.8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案∵A2==,∴M=A4=(A2)2==.6.设M=,求Mn(n∈N*).解:M2==.M3=MM2==.由此猜想Mn=.下面用数学归纳法证明.(1)n=1时显然成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时成立,即k=.则当n=k+1时,Mk+1=M·Mk==.故n=k+1时也成立.
7、∴n为正整数时,结论都成立.故Mn=(n∈N*).7.矩阵M=,N=,向量α=.(1)验证:(MN)α=M(Nα);(2)验证这两个矩阵不满足:MN=NM.证明:(1)因为MN==,所以(MN)α==.8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案因为Nα==,所以M(Nα)==.故(MN)α=M(Nα).(2)因为NM==,又MN=,所以MN≠NM.8.求满足A2=A的一切的二阶矩阵.解:设A=,∵A2=A,∴=.∴a2+bc=a①ab+bd=b②ac+cd=c③bc+d2=d④由②③得(c+d-1)b=0,(a+d-1)c=0.(1)当a+d-1=0
8、时,由①得a=,由④得d
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