2012年5月北京各区二模最后一题(理数)试题汇编与解析

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1、2012年5月北京各区二模最后一题试题汇编与解析(2012海淀二模理)20、(本小题满分13分)将一个正整数表示为均+色+…+佈⑺？"*)的形式，其中N*,1,2,・・・丿，且46时，求证：/(/?)>4n-13・20、(本小题满分13分)(I)解：因为3=3,3=1+2,3=1+

2、1+1,所以/(3)=3・因为5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+14-1+1+1,所以/(5)=7.……3分(II)结论是f(n+1)<*[/(〃)+f(n+2)].证明如下：由结论知,只需证f(n+1)-f(h)2，把n+的一个表示法中6/,=1的q去掉，就可得到一个刃的表示法;反之，在〃的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个斤+1的表示法，即农+1的表示法中坷=1的表示法种数等于〃的表示法种数，所以/(〃+1)-/•⑺)表示的是〃+1的表示法中aj1的表示法数，f(

3、n+2)-f(n+)是n+2的表示法中q】1的表示法数.同样，把一个q

4、1的71+1的表示法屮的你加上1,就可得到一个1的〃+2的表示法，这样就构造了从1的斤+1的表示法到aj1的刃+2的表示法的一个对应.所以有f(n+1)-f(n)

5、二模理）20.（本小题满分13分）若An=a}a2-an（at=0或1,上1,2,・・・必）,则称九为0和1的一个斤位排列.对于A,，将排列^tlaa2…Q心记为尺（AJ；将排列an-Clna'''Cln-2记为^（A/）；依此类推，直至疋（A〃）=A”・对于排列&和H（AJ0=1,2「・/-1）,它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做九和RAn）的相关值，记作/（為，尺（&））.例如4=no,则心（令）=丽，t（A39R{（A3））=-・若，左（A"）=—1（i=1,2,…曲—1）,则称4为最佳排列.（I）写hi所有的最佳排列九；（II）证明：

6、不存在最佳排列4；（III）若某个a2,+1（k是正整数）为最佳排列，求排列舛如中1的个数.20.（本小题满分13分）（I）解：最佳排列九为帀，iol,W0,丽，丽，丽.3分（II）证明：设=aAa2a3a4a5,则R］（^）=a5a}a2a3a4,因为『（人,尺'（人））=一1，所以a}-a5,16Z2-6fj

7、,a3-a2,a4-a3ta5-aA之中有2个0,3个1.按％Ta】T勺T色T匂T%的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变.但是％经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在4,使得«人,丹（4））=T，从而不存在

8、最佳排列人.7分（III）解：由A“+i=。山2…。2&+1（4=0或l,i=l,2,・・・，2k+l）,得2E+1)=a2ka2k+[aa2…Q^（Az.+1）=a2k+aa2.…a2k，2—1'Rk(^2k+^=a2a39"a2k+a因为心如,R(血如))=—1(21,2,…,2灯,所以仏如与每个尺（儿知J有厂个对应位置数码相同，有£+1个对应位置数码不同,因此有

9、a｛-a2M

10、+

11、。2-41+…+丨如一如-1丨+丨如+i一。2訂=£+1，a~a2k^a2~a2k+l

12、+・・・+

13、。2«一5-2I+Ia2k+l~a2k-匸£+1，10分以上各式求和得

14、，S=伙+l）x2£•另一方面，S还可以这样求和：设G］卫2,…卫2«卫2屮中有兀个0,丁个1，则S=2xy.11分一兀+夕=2£+1,所以［2xy=2k(k-^l解得x—k、y二R+1,x=k+或｛y=k.所以排列中1的个数是公或k+1•…13分（2012东城二模理）20、（本小题共14分）对于数列&｝（21,2,・・・，加）,令瓦为坷,%…，兔中的最大值,称数列也｝为｛%｝的“创新数列”.例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7.定义数列｛c”｝：qaG，…，5是自然数1，2,3