03高中数学教材中经典问题和变式(第一辑)：高中数学教材中经典问题和变式-(3)平面向量

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1、高中数学教材中的经典问题与变式（3）平面向量类型1：平面向量的实际背景与基本概念1.（人教版必修4第P85例2）如图1,图中与04、OB、OC相等的向量。设0是正六边形的中心，分别写出解：OA=CB=DOOB=D&EOC=AB=ED=FO图1变式1：如图1,设0是正六边形的中心,分别写出图中与DO.DC共线的向量。解：与OD共线的向量为：OAgFE；与DC共线的向量为：EOQB.AF类型2：平面向量的线性运算2.（人教版必修4第86页例4）如图，在平行四边形ABCD屮，AB=a,AD=b,你能用a,b表示向量AC,DB吗？解:AC=a+bDB=a—b变式如图，在五边形ABCDE中，AB=

2、a、BC=b、CD=c,EA=d，试用a,b,c,d表示向量CE和DE.解：CE=BE+CB=BA+AE+CB=—(a+b+d)DE=—(EA+AB+BC+CD)=—(M+a+方+c)变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，OA=aOB=b,则下列各表述是正确的为（A.OA+OB=ABC.CD=—a+b解：DB・OC+OD=ABD.BC=—(a+h)变式3：己知OA=a,OB=b,OC=c.OD=d.且四边形ABCD为平行四边形，则（A.a+b+c+d=QB.a~b+c—d=QC.a+b—c—d=QD.a—b—c+d=O解：A变式4：在四边形ABCD'P，若AB二-则此四边形是()A.

3、平行四边形B.菱形C.梯形D.矩形解：C变式5：已知a、〃是非零向量，贝!j

4、a

5、=

6、b

7、是（a+〃）与（a—力）垂直的（）A.充分但不必要条件BC.充要条件D.既不充分也不必要条件解：C变式6：在四边形ABCD中，屈f+2方，BC=-4a-b,CD=~5a~3b,其中a、〃不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形变式7：已知菱形ABCD,【解析】VAD=AB+BC+CD=Sa~2b=2~BC,:.AD//BC.：.四边形ABCD为梯形，选C点P在对角线AC上（不包括端点A、C）,则AP等于（）A.Ae(o,l)C.A(AB-AD),2G(O,1)B.2(4B

8、+BC),go,丰)D.A(AB-BC),久丘(0，¥)【解析】由向量的运算法则AOAB+4D,而点P在对角线AC上，所以AP与AC同向，且AP

9、判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？解：AB=OB—OA=a+2b—（a+b）=bAC=OC—OA=a+3b—(a+b)=2b所以AC=2AB,所以A.B.C三点共线.变式已知OA=a+2b,OB=2a+4b,OC=3a+6b（其中a.方是两个任意非零向量），证明：A>B、C三点共线.证明：TAB=OB—OA=a+2b,AC=OC—OA=2a+4方,・・・AC=2AB所以，A、B、C三点共线.变式2：已知点A、C在同一直线上，并且OA=a+b,OB=(m—2)a+2b,OC=(/?+l)a+3方(其中a、〃是两个任意非零向量)，试求加、77之间的关系.解：AB—OB—OA—(m—

10、3)a+b,AC=OC—OA=na+2b由A、B、C三点在同一直线上可设AB=kAC,则)=n所以(加一3)=丄〃即2加一九一6=0为所求・[2k=}23.(人教版必修4第92页第13题)己知四边形ABCD,点、E、F、G、H分别是AB、BC、CD、D4的中点，求证：EF=HG证明：在ABC中，分别是AB,BC的中点,所以EF//AC且』*C,即EF冷AC；同理,气AC,所以EF=HG.变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F,求证：AB+DC=2EF.证明：如图，连接和EC,由EA+AB=広和肋十阳=励可得，EA+AB=EF+FB(1)由ED+DC=EC和EF+

11、FC=EC可得，ED+DC=EF+FC(2)(1)+(2)得，EA.+ED+AB+DC=2EF+FB+FC(3)・・・E、F分别为AD和BC的中点，・・・E4+ED=0,FB+FC=0,代入(3)式得,AB+DC=2EF类型3：平面向量的基本定理及坐标表示5.(人教版必修4第98页例6)已知d二(4,2),方二(6,y),Ra//b,求y・解：因为allb.所以4y—2x6=0,解得y=3变式1：与向量a=(12,5)平行的单位向量