12高中数学教材中经典问题和变式(第三辑)：高中数学教材中经典问题和变式(12)导数

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1、高中数学教材中的经典问题与变式（12）导数类型1：平均变化率1.人教版选修1一1第84页例2,选修2-2第8页例2：根据所给的函数图像比较曲线加）在心,t.,2附近得变化情况。变式：函数/（X）的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）A.0＜/⑵⑶⑶-/⑵B.0＜/⑶⑶-/（2）＜/z⑵c.0＜八3）＜八2）＜/⑶-兀2）D.0＜兀3）—/⑵＜广’⑵vf⑶解：设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT点B处的切线为BQ,・・・/（3）一/（2）=/⑶-/⑵3-2•・・f（3）=%,/'（2）=kAT9如图所示，切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角

2、小于切线AT的倾斜角••k/iQ＜kAB＜kAT所以选B类型2：导数的概念与运算2.已知/（兀）=丄,则lim，（2+心）7（2）的值是（）XAx-＞01A.4AxB.2C.-4解:由导数定W0）=limAxtO得恤/（2+心）-/⑵”（2）=）Aa—＞（）AyfAvD.-2变式1：设广（3）=4,则lim丿力）-./（3）为（h—＞0B.-22/2C.-3D.1A.一1解：

3、im/（3-A）-/（3）=_丄/（3-.）-/（3）=_丄⑶亠2•选B./：-＞o9h2一〃一＞0—h2•2h-h变式2：设几兀）在勺可导，则£戏/（兀+心）—/（兀-3心）等于（）A

4、y»（）A.2广仇）B.广（勺）C.3/U）D.4广仇）解:］曲旦匕上空匚凹aatoAr_lim•/（兀0+心）1/（珀））+/（珀））1/（兀0一3心）山-》0Ax_］讪/仇+心）一/仏0）IUm3：oAr3山to3Ar=lim如也上迪+3xlim/比一3心）-几锁心toAx-3mto-3Ar才讥）+3广牝）=4广g）・•.选D类型3：导数的应用1•如果质点A按规律戸2P运动，则在匸3s时的瞬时速度为（）A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s解析：・・・"二6几・・・/

5、t=54.答案：C变式：定义在D上的

6、函数/（%）,如果满足：VxeD,日常数M>0,都有

7、/（x）

8、^M成立，则称/（兀）是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.文（1）若已知质点的运动方程为S（0二丄+G,要使在re［O,+00）上的每一时刻的瞬时速度是t+以M二1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.理（2）若已知质点的运动方程为S（/）=j2/+l-m,要使在re

9、O,+8）上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数。的取值范围.-1-1解：（1）・・・s'a）=+a・由is‘a）iwi,得

10、—+a

11、wi-i—+心a+ir-i—+«>-ia+ir（/+1）2（/+1）2a<

12、——!~+1a+1）2cin—1a+F令g（/）=——+1,显然g（/）在10,+00）上单调递减，则当/f+8时，^（r）-*i.:.a<1a+i）2令h（t）=7一1,显然h⑴在［0,+oo）上单调递减,・・・OWaWl；（r+l）「则当f=0时，/z(Z)max=/7(0)=0a>Q故所求ci的収值范围为OWaW1.⑵・.・s‘a)二——J2f+11i.-a<1V2r+1‘I一a>-1V2r+1a>,-1V2/+1a

13、S'(f)

14、W1,得

15、/:—a

16、W1V2r+1・°・g

17、(D=/I在[0,+8)上单调递减•故当r=o时，有g(r)mrx=g(°)=1；J2/+1又巩"缶〉°’当‘F时’巩心金r°‘g(f)w(0,1],从而右一—1W0,.11.—+1〉1.「•OWaWl；+1a/2z+1故所求a的取值范围为OWdWl.类型4：导数的运算法则4.人教版选修1一1第93页习题A组第4题，选修2-2第18页习题A组第4题,求所给函数的导数：、Y3-1(文科)y=x3+log.x;y=xnex;y=sinxo(理科)y=(x+l)";y=2e~x,,y=2xsin(2x+5)变式：设yw、gd)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当XV

18、O时，/V)^(x)+/(x)^r(x)>0.且g(3)=0.则不等式/U)g(兀)<0的解集是()A.(—3,0)U(3,+8)B.(—3,0)U(0,3)C.(一8,—3)U(3,+8)D・(一8,—3)U(0,3)解：由已知得当xvO时,(/(兀)g(x)y>0即当无<0时，/(x)g(jc)单调递增(1)乂几兀)怎(兀)分别是定义在/?上得奇函数与偶函数・•・/(x)g(x)是定义在R上得奇函数即/⑴g(x)的图像关于原点对称(2)又g(3)=0,则g(-3)=0・・J(-3)g(-3)=/(3)g⑶=0即m：)g⑴图像过点(-3,0)与(3,0)(3

19、)由⑴，(2),(3)亀⑴

20、g(0函数