09高中数学教材中经典问题和变式(第二辑)：高中数学教材中经典问题和变式(9)直线和方程

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1、高中数学教材中的经典问题与变式(9)直线与方程类型1：直线的倾斜角与斜率1.(北师大版必修2第93页A组第1题)已知点A(1,V3),B(-1,3a/3),求直线AB的斜率.变式1：己知点A(1,V3),B(-1,3V3),则直线A3的倾斜角是()71A.—D.3a/3_a/S/~/~7C解：TkAR==—』3,/.tancr=—J3,90

2、=丄,a-20-2ab2变式3：已知点A(l,-1),B(5,2),直线/的倾斜角是直线43的倾斜角的一半，求直线/的斜率.解：设直线/的倾斜角为Q,则直线的倾斜角为,依题意有tan2

3、距为a,在y轴上的截距为"，贝U()A.a=3,b=2B.a=3yb=—2C.a=—3,b=2D.a=—3,b=—2解：令兀=0得y=—2,・・・直线在y轴上的截距为b=-2；令y=O得x=3,二直线在兀轴上的截距为ci=3,故选(B).变式2：过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.3解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，.••直线的方程为y-3=x-2或〉，=—x,即x—y+l=O或3x-2y=0.变式3：直线/经过点P(2,3),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线/的方程.解：依题意，直线/的斜率为±1,・・・直线/

4、的方程为y-3=x-2或歹一3=-(兀一2),即x—y+l=0或类型3：直线与坐标轴围成的面积3.(人教A版必修2第124页A组第3题)求直线2x-5y-10=0与坐标轴围成的三角形的面积.变式过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是.14解：设所求直线方程为丁+4=£(兀+5),依题意有一(一—5)(5/:-4)=5,2k1Q・・・25/—30k+16=0(无解)或25疋—50£+16=0,解得“一或£=二55・••直线的方程是2兀一5y—10=0或8兀一5y+20=0.变式2：(2006年上海春季卷)已知直线Z过点P(2,l),且

5、与兀轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为•C1…1f1(2--(1-2«=—4-4k——k2k则S△⑷=£解：设直线AB的方程为y—l=k(x—2)伙v0),=丄[4+(_4灯+(—丄)]»丄[4+2』(-4灯•(一丄)]=4，当且仅当2k2Vk—4k二一丄即k=-丄时取等号，.••当k=-丄时，Sy朋有最小值4.k22变式3：已知射线l:y=4x(x>0)和点M(6,4),在射线/上求一点N,使直线MN与/及x轴围成的三角形面积S最小.解：设A^(x0,4x0)(x0>1),则直线何V的方程为(4x0-4)(%-6)

6、-(x0-6)(y-4)=0•令y=0得%-110X(/xo一1=10L(xo-l)+-心一1+2]•••当N为(2,8)时,三角形>10[2肚一1)•丄+2]=40，当且仅当%0-1=-^-即兀。=2吋取等号,VX。一1兀0—1面积S最小.类型4：求与已知直线平行的直线的方程4.(北师大版必修2第117页第10题)求过点4(1,-4)，且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程.变式1：(2005年全国卷)己知过点A(-2,m)和fi(m,4)的直线与直线2x+y-l=0平行，则加的值为()A.0B.-8C.2D.104—77?解：依题意有=-2,解得/

7、h=-8,故选(B)•加+2变式2：与直线2兀+3尹+5=0平行，且距离等于JT5的直线方程是.解：设所求直线方程为2x+3j+m=0,则m一'二岳,解得m=18或加二-8,.・.直线方程为V22+322x+3y+18=0或2x+3y-8=0.变式3：已知三条直线2x+3y+5=0,4x-3y+l=0,mr—y=0不能构成三角形，求实数加的取值集合.解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点吋，三条直线不能构成三角形，故24「24〕m=一一或加=—或m=1,实数m的取值集合是一一,1k33[33J类型5：直线平行与垂直的判定5.（北师大

8、版必修2第117页A组第7题）若直线ox+2y+6=0和直线兀+口