定义新概念问题2014

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1、定义新概念问题2014-11-251．请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b=______________（用a，b的一个代数式表示）．2．定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线为黄金抛物线。例如是黄金抛物线。（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式：．（2）若抛物线（、、是常数，）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3

2、）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位。①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与轴交于点A，对称轴与轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。[注：第②小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]【提示：抛物线（）的对称轴是，顶点坐标是】【答案】（1）答：如，，等.（2）解法一：依题意，得，∴△＝　　＝＝，∴当时，△＝０，此时抛物线与轴有一个公共点，当时，△＜０，此时抛

3、物线与轴没有公共点。解法二：依题意，得，∴△＝＝＝，∵，，∴，∴当时，△＝０，此时抛物线与轴有一个公共点，当时，＞０，△＜０，此时抛物线与轴没有公共点。解法三：∵抛物线（）的顶点坐标是，依题意，得，∴，当时，＝０，,此时抛物线与轴有一个公共点，当＞０时，则＞０，＞０，抛物线开口向上，顶点在轴上方，此时抛物线与　轴没有公共点。当＜０时，则＜０，＜０，抛物线开口向下，顶点在轴下方，此时抛物线与　轴没有公共点。解法四：∵抛物线（）的顶点坐标是，依题意，得，当时，＝０，,此时抛物线与轴有一个公共点，当≠０，＞０时，＞０，抛物线开口向上

4、，顶点在轴上方，此时抛物线与　轴没有公共点。当≠０，＜０时，＜０，抛物线开口向下，顶点在轴下方，此时抛物线与　轴没有公共点。（3）答：①新抛物线的解析式为：，②存在，有四个符合条件的点P的坐标：（0，－1），（1，－1），（－），（）。4.已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．（1）求证：与的面积相等；（2）定义：，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点

5、的坐标；若不存在，请说明理由．4．（1）证明：设，，与的面积分别为，，由题意得，．，．，即与的面积相等．（2）由题意知：两点坐标分别为，，，．当时，有最大值．．（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．由题意得：，，，，．又，．，，．，，解得．．存在符合条件的点，它的坐标为．5.已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D。若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。（1）如图1，求抛物线的伴

6、随直线的解析式；（2）如图2，若（m>0）的伴随直线是y=x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；（3）如图3，若抛物线的伴随直线是y=－2x+b（b>0），且伴随四边形ABCD是矩形。①用含b的代数式表示m,n的值；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式）；若不存在，请说明理由。6.如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）如图，△是抛

7、物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点，求出r的取值范围．6.（1）等腰..........................................1分（2）存在．如图，作△与△关于原点中心对称，则四边形为平行四边形．当时，平行四边形为矩形..................................2分又∵，∴△为等边三角形．作，垂足为．∴．∴(b﹥0)∴∴，．∴

8、，..........................................4分设过点三点的抛物线，则解之，得∴所求抛物线的表达式为..........................................5分（3）①⊙E与AD相切时，r=........