预测控制方法的研究与应用

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摘要预测控制方法的研究与应用预测控制是七十年代末产生并发展起来的一类新型计算机控制算法。因其控制性能良好、易实现、鲁棒性好等优点，在工业过程控制中得到广泛应用。预测控制理论发展的目的是更好地服务于生产实践，因此，如何把先进的预测控制算法应用于实际控制中是预测控制发展的根本性问题之一。论文正是从这一观念出发，在前人研究的基础上，对预测控制算法做了一定的研究。首先，介绍了预测控制方法的发展历程、现状、基本原理、与其他方法的区别、目前存在的局限性以及发展趋势。综述了预测控制算法的特点及多变量和带约束系统的解决方法，并且提出论文所要进行的研究工作。第二，对多变量广义预测控制算法进行研究，它特有的隐式解耦功能可以有效地克服传统分散控制、解耦控制的烦琐和缺陷。仿真结果表明该算法在跟踪性、鲁棒性和抗干扰能力方面都有良好的性能，并且可控制不稳定非最小相位系统。针对广义预测控制算法计算量大的问题，本文又对多变量单值广义预测控制算法进行了一定的研究。第三，在预测控制系统分析方面，针对预测控制算法中使用多种模型形式的情况，本文揭示了不同模型之间的关系，给出了相应的转换公式，为预测控制系统的分析和设计提供了方便。定性地阐述了设计参数与系统 北京化．丁人学硕J：学位论文控制性能之间的关系，并用实例加以验证，这对预测控制系统的设计具有参考和指导意义。第四，研究了广义预测控制算法解决约束问题，通过仿真验证效果非常显著，同时也对其他解决约束的方法进行了研究，比如对角解耦以及一种带约束DMC算法，这两种算法都大大减少了计算量，仿真效果也很好。第五，提出了预测控制与PID的转化关系，单变量得到了准确的转换结果。通过对多变量模型预测输出自由响应项的进一步分析，得到了状态反馈结构形式的广义预测控制器，可以像PID控制器一样实现广义预测控制器，并且给出了转化公式。最后，介绍了预测控制在燕山石化常减压装置控制器参数整定与优化项目中的应用。针对燕山石化常减压装置的控制系统，作者进行了系统分析，优化方案设计，测试，以及控制器优化等工作。本项目得到生产现场与审核领导的一致认可和好评，经济效益非常显著，在同类装置上推广前景极其广阔。关键词：多变量，广义预测，模型参数，约束，预测．PID AbstractTHERESEARCHoFPREDICTIVECoNTRoLMETHoDSFORMUL，rIVAIUABLESYSTEMABSTRACTPredictivecontrolbeginsinthelateseventies，andthenrapiddevelopment，itisanewkindofcomputercontrolalgorithms．Sinceitagoodcontrolperformance，easyimplementation，goodrobustness，etc，ithasbeenwidelyusedinindustrialprocesscontr01．Modelpredictivecontroltheoryisdesignedtoservetheproductionandpractice．Therefore，oneofthefundamentalquestionsofdevelopmentofpredictivecontrolishowtoputtheadvancedpredictivecontrolalgorithmontheactualprodution．Theauthordoestheresearchswiththisthesisatthestartingatthebasisofthepreviousstudiesonthepredictivecontrolalgorithm．Firstofall，theauthordividesthedevelopmentofpredictivecontrolintofourstages，atthesametimeintroducesthedevelopmentprocess，thebasicprinciples，distinctionwithothermethods，thelimitationsincurrenttrendsandthepredictionofcontrolmethod．Theauthorsummarizesthecharacteristicsofthepredictivecontrolalgorithmandthesolutionsofmultivariablesandrestraintssystem，andtoputforwardtheresearchswhichhavedone． 北京化工人学硕：L学位论文Second，thepapermainlyputstheimportantonstudingmultivariablegeneralizedpredictivecontrolalgorism，ithasdeducedthisalgorismbasedonexistenttheory，itspeculiardecouplingcapabilitycanovercomethecomplexitiesandshortcomingsoftraditionalseparatedanddecouplingcontr01．Bysimulation，itachievesagoodresultintracingproperty，robustnessandanti—interference，itcaneffectivelyhandletheinstabilityandnon—minimumphaseoftheprocess．Aimingatitsgreatcalculatingquantity,thepaperhasstudiedanotheralgorithmwhichcallsmultivariablesinglegeneralizedpredictivecontrolalgorithm．Third，inthepredictivecontrolsystemanalysis，thecontrolalgorithmforthepredictionmodelusedintheformofavarietyofcircumstances，thepaperrevealstherelationshipbetweenthedifferentmodels，givetheappropriateconversionformulaforthepredictivecontrolsystemanalysisanddesignconvenience．Qualitativedescriptionoftherelationshipbetweendesignparametersandsystemperformanceofthecontrolanduseexamplestoproveit，whichmakesreferenceandguidancetothedesignofpredictioncontrolsystem．Fourth，thedesignofgeneralizedpredictivecontrolalgorithmtosolveconstraintproblem，throughthesimulationprovetheresultsverysignificant，butalsodosomeresearchforthesystemwithconstraints，suchasdiagonaldecouplingandaconstrainedDMCalgorithm，thesetwoalgorithmsaregreatlyreducesthecomputation，simulationresultsarealsoverygood．IV AbstractFifth，westudiedthetransformationoftherelationshipbetweenthepredictioncontrolandPID，andasinglevariabletobeaccurateconversionresults．BymultivariatepredictionmodeloutputinresponsetoFreedomofthefurtheranalysisbythestatefeedbackstructureofthegeneralizedpredictivecontroller，PIDcontrollercanachievethesamegeneralizedpredictivecontroller,andgiveatransformationformula．Finally，theauthormakestheintroductionofthepredictivecontrolintheprojectapplicationsofcontrollerparametertuningandoptimizationinthevacuumdistillationunitinYanshanPetrochemical．ForthecontrolsystemofYanshanPetrochemicalatmosphericandvacuumdistillationunit，theauthorhasconductedasystematicanalysis，andoptimizedthedesign，testing，andoptimizationcontroller．Thisprojecthasreceivedrecognitionandpraise，broughtverysignificanteconomicbenefits，whichhasbroadprospectsforpromotiononsimilardevices．KEYWORDS：multivariable，thegeneralizedprediction，modelparameters，constraints，prediction—PIDV 北京化工大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：圣选立整日期：关于论文使用授权的说明学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。作者签名：至丝之墼日期：坦2垒塑至芝旦导师签名：日期 第一章绪论1．1引言模型预测控制，ModelPredictiveControl(MPC)，是一类计算机控制算法，其核心特征是利用过程模型预测对象的未来行为。在每个控制周期，通过计算一系列控制作用来优化对象的未来行为，并把优化得到的控制序列的第一个输出信号作用于过程，在下一个控制周期重复所有的计算过程。自从1978年首次阐明了预测控制算法产生的动因、机理及其在工业过程中的应用以来【l】12。，模型预测控制在电力、炼油、化工和造纸等领域获得了广泛应用。预测控制的产生并不是某一种统一理论的产物，而是直接来源于工业生产实践。众所周知，60年代初，以状态空间模型为基础的现代控制理论在航空、航天等领域获得了巨大成功。基于最优性能指标的设计理论和方法，利用状态空间法分析和设计控制系统，不但提高了人们对被控对象的内在理解能力，而且提供了在更高层次上设计控制系统的手段，这对于在工业过程控制中追求更高控制品质和经济效益的控制工程师来说，无疑具有极大的吸引力。然而在实际过程控制中人们却发现被控对象往往具有非线性、不确定性、时滞以及多输入、多输出等特性，而且实际的过程控制还要求算法具有很好的实时性、经济性，使得现代控制理论难以适应生产实际的要求。为了克服理论与应用之间的不协调，70年代以来，除了加强对系统辨识、模型简化、自适应控制、鲁棒控制等的研究外，人们开始打破传统方法的约束，试图面对工业过程的特点，寻找对模型要求低、控制综合质量好、在线计算方便的优化控制算法。预测控制就是在这种背景下发展起来的一类新型计算机优化控制算法。经过30年的发展，应用于生产过程的各种预测控制算法层出不穷，显示出其极大的生命力。那我们就先来回顾一下模型预测控制的发展历程。1．2模型预测控制方法的发展历程在2003年发表的一篇关于工业化模型预测控制技术综述中，Qin和Badgwellt3】全面地总结了工业化模型预测控制技术发展的历史及趋势，其分析基于对现有知名模型预测控制技术厂商所作的调查，很有借鉴意义。在这篇文献中，作者把线性模型预测控制技术划分成4个发展阶段，并对每一代的特征进行了说明。 北京化工大学硕士学位论文1．2．1模型预测控制方法第一阶段尽管1963年Propoi就提出了滚动时域控制的方法【4】，1967年Lee和Markus在其最优控制教科书中也预言了如今MPC的实际形式【5】，但直到1976年在第四届IFAC辨识与系统参数估计讨论会_kRichalet等人才首次描述了MPc的应用【6】。在1978年发表的论文中，Richalet等人对这种MPC方法进行了总结，称之为模型预测启发式控制(ModelPredictiveHeuristicControl(MPHC))，其实现软件称为：IDCOM(IdentificationandCommand)。IDCOM的显著特征为：●使用有限脉冲响应(FiniteImpulseResponse(FIR))模型，输入变量与中间变量为线性●使用有限预测时域二次性能目标函数●使用参考轨迹来指定输出的未来行为●算法中包含了对输入输出约束的描述●使用启发式递推算法求解最优控制量，它是辨识问题的对偶解Richalet等人认为要想进行有效的控制，就必须采用功能分层的控制结构，并提出了一种四层结构控制模式：●第三层：生产的时间与空间调度层●第二层：设定值优化层，其目标是减少成本，确保产品的数量与质量●第一层：多变量动态控制层●第零层：常规控制层他们指出：仅仅在第一层使用良好的动态控制减少被控变量的方差，并不会带来巨大的利益，真正的经济效益来自第二层对设计值的优化。这种分层控制的概念是应用先进控制的一个重要组成部分，并被许多实践工作者所沿用。在二十世纪七十年代早期，ShdlOil的工程师独立开发了动态矩阵控制(DynamicMatrixControl(DMC))技术，并在1973初次投入了使用。在1979年NationalAIChE会议与1980年JointAutomaticControl会议上，Culter与Rmnaker对DMC进行了详细说明【7】【引。1980年，Prett和GilleRe台'=作发表的论文中，描述了改进的DMC算法在FCCU(fluidcatalyticcrackinguniO反应／再生中的应用【9l。DMC控制算法的主要特征包括：●使用线性阶跃响应模型●使用有限预测时域二次目标函数●通过参考轨迹指定对象的未来输出尽可能地靠近设定值●优化方法使用最小方差求解方法最初的IDCOM和DMC算法代表了MPC的第一代，他们定义了工业MPC方法2 第一章绪论的理论框架，对过程工业的控制产生了巨大影响。1．2．2模型预测控制方法第二阶段起初的IDCOM和DMC对没有约束的多变量过程能获得非常优异的控制效果，但却需要采取一些特殊的方式来处理约束。ShellOil公司的工程人员把DMC算法构造成一个二次规划问题(quadraticprogram(QP”，I§0QDMC算法，克服了DMC不能显式地处理输入输出约束的弱点。Culter等人在1983年的一篇会议论文中首次又qQDMC算法进行了描述【lo】。几年后，Garci羽Morshedi在其发表的论文中进行了更详尽的表述【111。QDMC的关键特征包括：●使用线性阶跃响应模型●使用有限预测时域二次目标函数●引入输入增量抑制●采用二次规划QDMC算法代表了MPC技术的第二个发展阶段，能够系统地处理输入输出约束。1．2．3模型预测控制方法第三阶段随着MPC技术日益被人们所接受，MPC解决的问题变得越来越大、越来越复杂，第二代MPC方法又遇到了许多实际问题。尽管QDMC算法能够系统地处理输入输出约束，但对于不可行解的问题并没有明确的解决方案。实际过程中，由于硬件故障、阀位饱和、或者操作人员的直接介入操作都可能会造成输入输出变量丢失，致使被控制对象的结构发生变化，那么怎样处理由此引发的容错控制问题昵?另外，对于大型复杂的控制问题，要把众多的控制要求在一个单一的目标函数中表达成相对的权重并不是一件容易的事。这些问题激励着工程师们不断开发新的MPC算法。Setpoint公司推出了IDCOM．M(Multivariable)，而Adersa公司推出的HIECON(hierarchicalconstraintcontr01)与其具有相似的功能。IDCOM．M的特征为【121【131：●使用线性脉冲响应模型●具有可控制性监控程序，可以实时监视子系统的恶化情况●使用多个目标函数，包括二次输出目标函数与二次输入目标函数●引入拟合点的概念，只要求输出变量在预测控制时域的一些点上与参考轨3 北京化工大学硕：}=学位论文迹一致●在每个控制周期只计算输入变量的一个增量信号●可以考虑硬约束与软约束，硬约束赋予优先级在此基础上，Sctpoint的工程师不断改进IDCOM．M技术，最终把辨识、仿真、整定和控制产品融合为一个整体--SMCA(SetpointMultivariableControlArchitecture)。二十世纪八十代末期，ShellResearchinFrance的工程师们结合LQG与DMC的思想开发出]"SMOC(ShdlMulfivariableOptimizingController)[14】【15】，它既可以利用MPC处理约束的能力，又可以利用状态反馈控制丰富的理论成果。SMOC的许多特征被认为是现代MPC算法不可缺少的组成部分：●使用状态空间模型，可以描述稳定、不稳定和积分对象●使用扰动模型来描述不可测量的干扰，常值扰动只是其特例●采用Kalman滤波器估计状态与不可测量扰动●区分被控变量与反馈变量：被控制变量出现在目标函数中；反馈变量用于状态估计●采用二次规划优化方法IDCOM．M，HIECON，SMCA，SMOC和Profimatics公司的PCT以及Honeywell公司的RMPC(RobustMeC)等产品一起构成了MPC技术的第三代。这一代MPC技术对约束条件进行了区分(可考虑硬约束、软约束、等级约束)，提出了一些处理不可行解的方案，考虑到了控制结构实时变更的问题，可以选择不同形式的反馈方式，适应稳定、积分和不稳定的过程，并可采用多种形式的目标函数。1．2．4模型预测控制方法第四阶段1995年末Honeywell公司收购了Profimatics公司，组成THoneywellHi—SpeeSolutions，原来Honeywell的RMPC和Profimatics的PCT融合成为RMPCT。1996年初AspenTechnology公司收购了Setpoint公司与DMC公司，1998年又收购了TrdberControls公司，把SMCA与DMC技术合为一体，构成了现在的DMC-plus。RMPCT与DMC．plus代表了MPC技术的第四代，它们的特征是：●基于Windows的图形用户界面●采用多层优化，以实现不同等级的控制目标●采用灵活的优化方法●采用鲁棒设计方法，直接考虑模型的不确定性4 第一章绪论●采用改进的辨识技术以上发展阶段的划分只是相对的，主要参照文献【31的调查结果，尽管还有许多的预测控制算法及软件没有包括在讨论中，但这并不影响对模型预测控制方法发展阶段的认识。当然各代之间并不是绝对分开的，在同一时期往往是各种方法交错并存。1．3预测控制的基本原理1．3．1基本原理预测控制之所以取得引人瞩目的成就，是因为它采用了独特的技术方法和结构，以及有与众不同的工作原理与本质特征。预测控制虽然有多个类别，几十种算法，但是，它们却有相似的基本结构和共同的工作原理。图1．1是预测控制系统的一般性结构图。图1．1模型预测控制结构图Fig．1-1Modelpredictivecontrolstructure首先，通过一定的方法获取对象的模型，根据现在和过去的控制、输出信息，预计未来有限步的输出Y。，由于实际输出与预计输出存在误差，将此误差加进预计输出形成系统的预测输出Y。，然后把此预测值与经柔化器作用后的参考输入只，引入目标函数，通过优化的方法，计算使目标函数最小的未来一步或多步控制量，并实施一步控制，使系统的预测输出接近实际输出，实际输出跟踪给定输入。获得下一时刻的输出之后，重新进行下一时刻的预测、优化和实施，这样周而复始地进行下去。尽管各种不同类型的预测控制系统结构形式有所不同，但是，它们却有着共同的主要特征：5 北京化T大学硕．』：学位论文预测模型预测控制是一种基于模型的控制算法，这一模型称为预测模型【16】【17】。预测模型的功能是根据对象的过去信息和未来输人预测其未来输出，即展示系统未来的动态行为。由于这里只强调模型的功能而不强调其结构，因此预测模型是多种多样的。如状态方程、传递函数这类传统的模型都可作为预测模型。对于线性稳定对象，甚至阶跃响应、脉冲响应这类非参数模型，也可作为预测模型。此外，非线性系统、分布参数系统的模型，只要具备上述功能，也可在对这类系统进行预测控制时作为预测模型使用。值得注意的是，随着各种新技术和新方法在控制理论中的不断应用，采用诸如模式识别、人工智能、人工神经网络和模糊逻辑系统等手段来建立高精度的预测模型，特别对非线性系统将是一条很有效的途径。预测模型具有展示系统未来动态行为的功能。这样，就可以利用预测模型为预测控制进行优化提供先验知识，从而决定采用何种控制输入，使未来时刻被控对象的输出符合预期目标，这是它优于其它控制算法的原因，也是在工业过程中广泛应用的前提。滚动优化预测控制是一种优化控制算法。其核心在于有限时域的滚动优化，将系统的预测输出引进二次目标函数，通过对该函数的优化，确定基于现时未来有限步的控制量，但是仅实旅一步控制，等到该控制产生作用，有了输出之后，根据预测与实际的差别，重新预估下一时段的输出，优化基于下一时刻未来有限步的控制，同样实施一步，这样做的好处是：不论对象有何变化、系统受什么干扰，优化控制器始终能根据现时情况给出现时的最优控制，尽管它可能不是全局性的最优控制。这样极大地提高了系统的适应能力和鲁棒性能，特别具有实际意义。因此，预测控制不是用一个对全局相同的优化性能指标，而是在每一时刻有一个相对于该时刻的优化性能指标。不同时刻优化性能指标的相对形式是一样的，但其绝对形式，即所包含的时间区域是不同的。因此，预测控制中，优化不是一次离线进行，而是反复在线进行，从而使模型失配、时变、干扰等引起的不确定性能及时得到修正，提高了系统的控制效果，这就是滚动优化的含义。反馈校正反馈校正是系统提高控制精度和鲁棒性的又一措施。基于不变的基础模型获得的预测输出与实际输出一般是不一样的，这是因为模型与对象的失配、对象的不确定性、非线性和干扰等引起的。预测控制是一种闭环控制算法，在通过优化确定了一系列未来的控制作用后，为了防止模型失配或环境干扰引起控制对理想状态的偏离，它通常不是把这些控制作用逐一全部实施，而只是实现当前时刻的控制作用。到下一采样时刻，则首先检测对象的实际输出，并利用这一实时信息6 第一章绪论对基于模型的预测进行修正，然后再进行新的优化。反馈校正的形式是多样的，可以在保持预测模型不变的基础上，对未来的误差做出预测并加以补偿(如MAC和DMC)，也可以采用在线辨识的原理直接修改预测模型(如GPC)。但不论采用何种校正方式，预测控制总是把优化建立在实际系统的基础上，并力图在优化时对系统的未来动态行为做出较准确的预测。因此，预测控制中的优化不仅基于模型，而且利用了反馈信息，因而构成了闭环优化。1．3．2与几种其他控制的区别由于预测控制是在几种控制基础上发展起来的，弄清它与其他控制的联系和区别，对于全面理解和深入研究预测控制会大有益处【18Ⅱ悖】。1．与经典反馈控制经典反馈控$1](FeeAbackContr01)是一种闭环控制，闭环负反馈控制是自动控制的基本形式。将输出信号作为反馈信号反向传至输入端，与设定信号比较，用差值来决定控制信号的大小和方向，达到输出信号跟踪设定信号。它的特点是，具有抑制系统内部和外部各种干扰的能力，力图维持输出与设定的一致。预测控制是一种闭环控制算法，它利用了反馈控制原理。不过，它的反馈信号不是取自实际输出，而是来自输出误差(实际输出与预测输出的偏差)和未来输出的预测。它不是通过比较、放大设定值与反馈值的偏差来确定未来的控制，而是将设定值与反馈值的偏差引进目标函数，通过对该函数的优化来确定未来的控制，即是一种预测、反馈、优化、闭环控制。经典反馈控制着重在维持输出与设定的一致，预测控制侧重于使未来输出与设定相同。2．与离散最优控制【20J离散最优控制(DiscreteOptimalContr01)是一种现代控制方法，它首先提出一个全局控制过程的、关于状态和控制量的二次型目标函数，然后，离线一次性计算出使目标函数为最小的控制序列，最后依时实施。如果模型准确，并且对象无时变，控制效果会不错。但是，当对象发生变化或出现干扰时，它不能及时调整控制量，修正偏差，使得最优控制变成非优控制。预测控制的滚动优化是一种在有限时段内、在线不断调整的最优控制。它的二次型目标函数是在未来有限步的时段内，关于输出误差和控制的函数，通过优化，确定未来有限步的控制序列(为控制长度，由设计者确定)，但是仅实施一步控制，待产生响应后，重新预测输出，并在二次型目标函数中用新的预测值替换旧的预测值，然后再进行优化，如此循环下去。这是一种根据新的信息，不停优化的策略，虽然增加了一些计算量，且得到的是全局次优解，但系统适应性能却7 北京化工大学顾：I：学位论文提高了，对于随机干扰，对象时变等不良影响，具有较好的抵抗作用，这是离散最优控制无法比拟的。3．与最小方差自校正控制广义预测控制是在自校正最小方差控制(Self-tuningMinimumVarianceContr01)的基础上发展起来的一类预测控制算法，它保留了最小方差自校正控制中的模型预测、最小方差控制和在线辨识的方法，对最小方差控制的某些地方进行了改进，使得广义预测控制的适用范围扩大，控制性能提高。广义预测控制一般采用受控自回归积分滑动平均(ControlledAuto—RegressiveIntegratedMovingAverage)模型来描述有随机干扰的对象，这比用受控自回归滑动平均(ControlledAuto．RegressiveMovingAverage)模型更容易实现无偏差跟踪。广义预测控制的性能指标函数一般为：rP^f1／=E{∑q，陟(f+歹)一Y，o+／)】2+∑o[Au(t+j-1)]2}．．．⋯(1．1)L，=ⅣIj=lJ而最小方差自校正控制性能指标函数一般为：-，=E董Q(z-')yo+d)一S(z-')只o)】z+k(7．-I)“(f)】2}⋯⋯⋯⋯(1．2)两者相比可知，广义预测控制性能指标函数采用了长时段预测的概念，把所优化的方差从一个时问点，扩展到一段时域，其中M大于对象纯时延d，P为预测长度，M为控制长度。由于用多步预测优化替代了一步预测优化，即使纯时延不准或者变化，系统仍能从整体优化中得到合理的控制，所以，广义预测控制适用于纯时延对象。另外，对于非最小相位系统，由于广义预测控制可通过设计参数P、M、g，、厂，的调整，使闭环系统稳定，从而，广义预测控制适用于非最小相位系统。这些都是最小方差自校正控制难以处理的。1．4当前预测控制的局限性与未来发展方向1．4．1局限性现在大部分现存的MPC产品都是在第一代MPC方法IDCOM和DMC的基础上发展而来，它们的许多局限性也就沿袭至今f3】f21】陋】。模型形式简单：DMP．plus和HIECON使用卷积模型，当被控制对象的时间常数变化很大时，使用这些模型会带来许多麻烦。有时为了兼顾模型的长度，只得牺牲控制的快速性。脉冲响应模型与阶跃响应模型一个致命的弱点是只适合于严格稳定的过程，8 第一章绪论尽管可以通过修改算法来适应纯积分过程，但这样做会引发别的问题，例如，可能会在反馈通道引入噪声信号的导数。另外，脉冲响应模型无法描述不稳定的过程。如果使用自回归参数模型，这些问题便会迎刃而解。反馈方式欠佳：除AspenTarget和SMOC使用卡尔曼滤波器作为反馈校正外，其它的MPC产品都把模型预测偏差值作为校正量。使用偏差校正方法是假定系统没有随机误差扰动，也没有测量噪声。对于稳定对象这是可行的，但对于纯积分过程和有测量噪声的系统，控制效果就不容乐观。如果能对噪声和扰动进行仔细的分析，建立合理的模型，就会得到更加满意的反馈校正方法。缺乏标称稳定性：当有约束存在时，即使模型准确，要想得到稳定的控制，正确整定控制器参数也不容易的。一般是在控制器投运之前，采用仿真的办法来进行参数调整。但这种方法的缺点是不能全面地考虑所有可能出现的情形。最好的方法是发展能确保标称稳定性的算法，以保证在所有可能的状态下系统都是稳定的。这个虽然已有一些理论上的探讨123][24][251。但在工业MPC产品中却很少包含这些思想。动态优化效率不高或者采用次优化方法：为了加快求解速度，一般会采用次优化方法。对于快速系统的控制，这可能是一种无奈的选择，因为要在很短的时间内完成二次规划不太可行。如果采样周期很长，计算资源不受限，采用次优化方法就不是很合理了。有文献【26】指出，如果能合理利用优化问题的结构，就可以实现更快的控制，解决更大维数的控制问题。就目前的研究现状看，预测控制的研究中主要存在的问题是理论分析难以深入：对多变量预测控制算法的稳定性、鲁棒性的研究亟待解决；对非线性系统的预测控制还没有很好地解决。要解决这些问题。还是要在算法研究上应紧扣预测控制的模型预测、滚动优化和反馈校正这三大机理进行。1．4．2未来的发展方向QiIl和Badgwell在咨询MPC技术供应商的基础之上【31，结合Froisy的观点【271，指出了未来MPC发展方向：1．未来MPC控制器的基本架构：因为要把所有控制目标表达成一个单一的目标函数很困难，未来的MPC算法将使用多目标函数。无限预测时域具有很好的理论特征，可能会成为MPC的一个标准要求。输入与输出轨迹的形式将包括设定值、区域、参考轨迹及“漏斗型"区域等多种选择。输9 北京化工大学硕：I：学位论文入参数化将会更多地采用基函数的形式，无限控制时域亦将成为可能。2．自适应MPC：尽管实际应用中很欢迎自校正MPC控制器，但只有Invcnsy的Connoisseur和DotProducts的STAR是采用自适应方案的商业化MPC产品【2引。实时实现自适应控制存在一定的困难，如果没有理论突破，近期这方面可能不会有很大的进展。3．鲁棒MPC：除]'Honeywell公司的RMPCT在控制器设计时考虑到模型的不确定性外，其他产品是通过大量的仿真实验来评估模型失配的影响。设计具有鲁棒稳定性保障的MPC控制器将减少整定与测试时间。4．非线性MPC：未来的MPC技术应该能将过程知识与测试数据有机地接合起来发展非线性模型。由于建立非线性过程数据模型比较困难，使用机理模型或其它替代模型就尤为重要【29】。1．5预测控制的研究方法研究预测控制算法之间的内在关系以及它们之间的等价变换是深入了解MPC本质机理、进一步研究算法的性质和对算法扩展的重要途径。Garcia和Morari提出的内模控SJ](IMC)的新型控制结构后，有许多研究者从理论和应用实践上做了工作，如Eric等【30】发展了内模控制理论，尤为重要的是，IMC的出现为从结构上研究MPC提供了一条新的途径，便于分析预测控制系统的各项特性，这方面的工作以席裕庚等人为代表【3I】【321。有文科321给出了DMc的内模结构，并导出了各个环节的定量表达式，这为分析系统的闭环动态特性及稳定性提供了方便。席裕庚【3I】将GPC结构转换为内模结构，推导了控制器的表达式，认为GPC系统的动态特性取决于控制器多项式的极点，GPC算法不改变系统的纯滞后或非最小相位特性。早期的预测控制都采用输入输出模型，随着理论的发展，人们注重于用状态空间模型建立预测模型‘331【34】【3s】。这种方法有以下优点：易于用Kalman滤波等方法处理噪声及不可观测状态，改善控制性能；易于推广到多变量系统；便于利用线性系统与最优控制的成熟理论去分析预测控制的闭环性质和过渡特性p6J。文献【37】经过分析后认为，在噪声强度不大和无结构型建模误差的条件下，GPC是一种性能优良、闭环稳定的算法，适用于阶次上界已知的对象，适用于时滞未知但上界己知的对象，适用于非最小相位系统，适用于能稳定检测的开环不稳定系统，具有良好的跟踪和稳态性能，能抑制确定性干扰，优于极点配置、LQG、广义最小方差控制的算法。lO 第一章绪论1．5．1多变量系统的预测控制研究工业过程通常是有耦合的多变量系统，因而产生于过程控制的预测控制从一开始就被推广到多变量系统(MIMO)。PID算法对多变量控制常常无能为力，因而正好要预测控制去弥补。多变量、多目标、多速率、多约束构成了预测控制中的重要内容。近十年来，对于线性多变量广义预测控制已开展了研究，并取得了一些重要成果。从原理上说，预测控制的设计可以平行推广到MIMO系统，如MGPC。Seatolini[38】得到了MGPC的闭环方程，并且对于开环稳定的方系统，在N=l时，给出了预测时域和控制增量加权阵的选取办法，以保证闭环稳定性。Mohtadil39】利用根轨迹、主增益评价MGPC的稳定性和动态特性，显示了设计参数对闭环的影响，并给出一系列启发性的参数调整规则。Kouvaritakis[删等采用非常简单的方法把SGPC推广到MSGPC。但是在实际工业过程中，系统的多个环节之间有着较强的耦合，只简单套用SISO控制算法，很难使每一个回路的输出都得到满意的控制效果，并且计算过程也相当复杂，因此有必要对GPC控制器进行解耦设计。对GPC的解耦，虽然可以通过合适选择二次目标函数中的加权项来实现【411，但这样一来各个变量跟踪设定值的性能变坏。Kouvaritakis[42】等分别采用增益相位分解法和单值分解法，把MIMO系统转化为一组SISO系统分别设计。柴天佑【43】用在线修正目标中前馈加权的方法结合最小二乘法，对预测控制实现了近似解耦。文献【44】针对不同通道间的不同响应特性，分别设计控制参数，但是这种方法对控制对象的模型要求极高，不适合实际应用。从一般性角度来看，能够完全实现各个回路精确解耦的预测控制算法是极难设计的。而本文结合文献[411和[451推导出一种多变量广义预测控南IJ(MGPC)算法，它特有的隐式解耦功能可以有效地克服传统分散控制、解耦控制的烦琐和缺陷。1．5．2约束预测控制研究在实际过程中，输入变量和输出变量常会受到各种物理等条件的限制，一般称之为硬约束(HardConstraints)。常见的约束有变量的幅值约束、速率约束加速度约束等。有时系统还需考虑在硬约束以外所希望的某种操作状态的约束，例如希望操作变量接近较经济的设定点，这些称为软约束(SoftConstraints)。而预测控制方法是唯一能在控制器设计过程中系统地处理过程约束的方法146114rl。由于要考虑约束条件，使得控制问题的求解与分析都变得极为复杂。普雷特提出一种基于矩阵分解技术使优化可行解位于靠近约束条件组成的区域的有约 北京化-T火学硕：l：学位论文束多变量DMC方法。张佩星提出一种基于启发式修正的带约束多变量系统预测控制优化算法。席裕庚【48】提出“满意控制”的概念，这是一种基于模型在线实现有约束多自由度优化，并由操作者参与决策的实用控制方法，它摒弃了传统的最优概念而面对实际过程的众多要求实现在实际条件下所能达到的最满意的控制。Tsangt49】等采用了拉格朗日因子法，在求控制律时，把控制幅值和变化率约束分开考虑，当控制输入量超出限制边界时，就当边界值处理，即把不等式约束转化为等式约束，但在幅值约束时，采用了所谓的“软变化率限制"，也就是把幅值约束转化为变化率约束。毛志忠等提出了一种通过加权多项式的选取来解决输入约束问题。AlexZhcng[50】对具有输入输出受限的系统利用修正的二次规划方法进行了控制算法的简化，目的在于减少计算量。Led引】等把小波变换方法应用到约束预测控制的求解中，显著地降低了计算量。余世明￡翻针对广义预测控制问题，在整个预测时域和控制时域，对输入幅值，输入变化率以及输出幅值施加了约束，在此基础上以二次规划作为滚动优化策略。李少远【53J研究了预测控制中的模糊决策问题。与传统的误差加权性能指标相比，在预测控制中利用模糊目标和模糊约束具有更大的灵活性，等式约束和不等式约束可以统一为模糊软约束，约束预测控制可以转化为标准的模糊优化问题，用一组不精确的满意优化解取代了传统的唯一最优解，这样，设计者对特定的被控对象有更多的灵活性。在约束预测控制中，除了通常所说的稳定性外，还应考虑可行性问题。所谓可行性，是指在给定性能指标的条件下，相应的预测控制律是否存在且唯一的问题。由于带有输入／输出(状态)约束，众多约束条件之间可能出现矛盾。再加之为保证稳定性，人为加入的终端约束如果和输出(状态)约束之间不相容，也可能导致无可行解。在预测控制中，对于输入的约束经常于执行器的饱和特性相对应，是一种必须满足的硬约束：而对于输出(状态)的约束更多的是为了保证控制的动态品质而提出的质量控制，具有主观因素，是一种软约束。为了避免不可行性，可以在线调整软约束的方法，克服这一困难。根据实际情况和用户需求，可对不同的约束施加以不同的权重，如果在寻优过程中问题不可行，便可以根据不同的权重重新调整约束的范围，最终达到可行性的目的。在输入约束条件下能使离散线性系统全局稳定的条件是开环系统的特征值全部位于闭单位圆内。Rossiter和Kouvaritakisl54】对具有约束的SGPC进行了比较充分和深入地分析。对具有输入和输出受限的系统利用混合加权最d"--乘法提出了广义预测控制方法并证明了闭环系统的稳定性，但该方法使用了求解可行性的假设。金元郁【55】提出一种约束输入的广义预测控制新算法，该算法不必求逆矩阵，占用内存小，计算速度快。杨建军D6】在系统输入受限的情况下，采用一般的广义预测控制或受限时域预测控制有可能会造成控制算法不可行，从而使系统12 第一章绪论的性能变坏或不稳定。针对这个问题，提出一种保证可行性的控制算法，并证明该算法能够使系统渐近稳定且最终使条件设定值跟踪系统的实际设定值。Clarke等对输入输出受限的预测控制稳定性作了相应的分析，并导出了闭环系统稳定的条件。Rawlings等给出了受限预测控制的稳定可行性结论，一旦可行性结论存在，则可以通过目标函数的单调性来证明稳定性。Rosslter["J等使用终点受限的方法保证短期可行性，从而证明闭环系统的稳定性，并以此为基础，又使用松弛变终点受限的方法，进一步讨论了闭环系统的稳定性。考虑到由于约束问题的存在，使得一些控制量就不能产生控制作用，所以协调控制问题也就相继出现。夏佰锴【5s】提出一种预报偏差非线性加权协调预测控制算法和动态与稳态之间的协调优化策略。杨马英等【59】通过确定优先自由度的问题解决过程的协调问题。由于约束的存在，就可能使系统在胖、方、瘦系统之间转换，左信唧】提出适用于瘦系统的偏差加权协调控制算法，并且分析其参数确定方法和稳定性。S．H．YANG[6I】提出如何用单值广义预测控制算法解决胖、方、瘦系统的控制问题，并根据～个实际的FCC系统，对这些算法作了应用。1．6本论文完成的主要工作本论文以下完成的主要工作：第二章中主要是对广义预测控制与单值广义预测控制算法的对比研究。通过对单变量和多变量广义预测控制算法的研究和仿真，验证其多变量广义预测控制算法的自动解耦功能，以及较强的跟踪性、鲁棒性和抗干扰能力。但是同时也发现它的缺点是计算量较大。为了解决这个问题，又对单、多变量的单值广义预测控制算法进行了研究，它的优点就是计算量相对于广义预测控制大大的减少，但由于它存在多个参数的在线辨识，所以跟踪性能没有多变量广义预测效果好。第三章主要是讨论了预测控制不同模型之间的关系以及预测参数选择的讨论，并且给出了转换公式，为预测控制的设计和分析提供了方便。尽管目前的预测控制算法绝大部分不是以状态空间法表示的，但状态空间表示法的确具有普遍意义，可作为一种模型描述的统一形式，并且有关学者指出，用状态空间法描述的预测控制算法具有大大减少在线计算量的优点。预测控制系统参数的增多给设计者提供了更多的选择余地，同时也给设计者提出了全面掌握设计参数与控制性能之间关系的要求。本文讨论了设计参数和控制性能之间的关系，对以后的设计工作有着很大的意义。第四章主要是对带约束系统的处理。针对过程中存在的约束问题进行一定的研究。首先，在许多实际工程应用中，系统都存在着输入和输出的约束，分为硬 北京化工大学硕士学位论文约束和软约束。不考虑这类输入和输出约束将导致系统特性的次优，在某些情况下将会导致系统的不稳定，所以要对系统进行约束预测控制。为此将二次规划算法应用于预测控制，很好的解决了含有约束的预测控制。此外将对角解耦和DMC算法应用于的广义预测控制方案中，保证了控制量在规定范围内变化，并避免了控制量剧烈变化，同时不必求Diophantine方程，使计算量显著减小。第五章主要研究了预测控制与PID的转化关系，．单变量得到了准确的转换结果。通过对多变量模型预测输出自由响应项的进一步分析，得到了状态反馈结构形式的广义预测控制器，可以像PID控制器一样实现广义预测控制器，并且给出了转化公式。第六章主要介绍了作者在研究生阶段完成的一个实际项目——燕山石化常减压装置的控制参数整定与优化。在其中作者把预测控制的相关知识应用于实际项目当中，最后收到了很好的控制效果。第七章为结论与展望，对本文所做的理论与应用上的研究作了总结，以及对未来预测控制发展的一些看法。14 第二章多变量广义预测控制算法2．1引言广义预测控制是随着自适应控制的研究而发展起来的一种预测控制方法，由于各类最小方差控制要求一般对象的时延，如果时延估计不准确，则控制精度将大大降低；极点配置自校正控制对系统的模型十分敏感。这种对模型精度的高要求，束缚了自校正控制算法在复杂的工业过程控制中的应用，人们期望能寻找一种对数学模型要求低、鲁棒性强的自适应控制算法。正是在这种背景下，1987年Clarke等人【62】针对工业过程的特点，在保持最小方差自校正控制的在线辨识、最小方差控制的基础上，吸取了DMC和MAC中滚动优化得策略，提出了广义预测控制算法(GPC)。这种算法在广义最小方差控制的基础上，在优化中引入了多步预测的思想，一举预测模型来预估过程未来的输出状况与设定值之间的偏差，并几次采用滚动优化策略来计算控制作用。GPC基于参数模型，引入了不相等的预测水平和控制水平，系统设计灵活方便，具有预测模型、滚动优化和在线反馈校正等特征，呈现优良的控制性能和鲁棒性。GPC分为显式算法和隐式，快速算法。它是基于显式模型方程而建立，能用于时变或未知时滞的过程；而作为预测控制的成员，它对模型适配不敏感。对于简单过程的控制，它不需要任何有关过程参数得先验知识；对于复杂过程，只要增大一些计算量也能加以控制。广义预测控制采用了长期优化性能指标，结合辨识与自校正思想，仿真试验与工业实践都证明其综合控制性能明显优于其他控制方法，在国内外控制借以引起广泛的重视。广义预测控制不仅能应用于非最小相位系统开环不稳定系统，而且由于他对模型阶次、参数不敏感，因而存在未知或是辨识阶次的过程，模型适配也能取得良好的控制效果。又由于采用传统的参数模型，参数数目较少，对于过程参数慢时变的系统，易于在线估计参数，实现自适应控制，被广泛地应用于工业过程控制中，取得了明显的经济效益。现实世界大部分的过程是多变量过程，由多个输入变量和多个输出变量组成，有时还可能存在可测量或不可测量的扰动。由于其表述与计算的复杂性，常规的方法是把多变量过程进行解耦，变成多个单变量过程，再用单变量控制方法进行控制。但解耦方法需要输入变量与输出变量的个数相等，而且输入与输出之间要能够进行配对。对于复杂的动态过程达到完全解耦是不可能的。多变量广义预测控制是控制多变量过程的一种有效方法。然而以前所研究的广义预测控制算法(GPC)都是针对单输入和单输出(SISO)系统，而实际工业过程通常为复杂的多输入多输出(MIMO)过程。所以本文着重对多变量的广义预15 北京化工大学硕士学位论文测控制算法进行研究，广义预测控制作为一种优化控制算法，其优点之一就是可以直接处理多变量过程的控制问题。本文在原有理论的基础上对多变量广义预测控铝IJ(MGPC)作了一定的改进，其特有的隐式解耦能有效地克服传统分散控制、解耦控制的烦琐和缺陷。但是由于广义预测控制应用于实际工程时，其算法较复杂、需要调整的参数较多，且在线计算时间较长，为算法在现场的工程实际应用增加了复杂性，也不易满足诸如电气传动这类快速系统的控制要求。针对这一情况，本文给出了一种需要调整参数少、在线计算时间短的多变量单值广义预测控制算法，并与多变量广义预测控制算法进行了比较。2．2单变量广义预测控制的算法推导对被控对象的数学模型采用下列具有随机阶跃扰动非平稳随机噪声的离散差分方程描述：A(q-1)J，(f)=8(q_1)“O一1)+C(q-1)孝(f)／△—*戥o2(q一1)yO)=B(q～)Au(t一1)+C(q‘1)善Ijf)⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-1)其中，y为系统输出，U为系统输入，孝为均值为零、方差为万2的白噪声，△为差分算子：A=l—g。12(q一1)=A(q一1)△⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-2)～ACq一)=l+∑qq一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2·3)i=inbB(q。)=∑6f口～⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2--4)I*0C(q。1)=1+∑clg～⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-5)引入恒等式，称它为Diophantine方程：黠州q-!)+瓦g-JSj万(q-!)⋯⋯⋯⋯．(2．6)其中：degRj=j-1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2—7)deg■=max{n。，刀。-j}⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(2-8)16 第二章多变量广义预测控制算法则可得：C(q一1)=A(q一1)Ry(q一1)+g～S，(g一1)⋯⋯⋯⋯⋯．(2-9)或：玎，=鲨等严⋯⋯⋯⋯．协㈣将(2—10)代入式(2-1)可得系统的J步向前输出：—C(q弋-I)-矿q-YSj(q-1)y(t)=B(q-I)Au(t-1)+C(q-')荆或：如Ⅷ=鬻龇铲叶尜她屿cq-i鼬n⋯协Ⅲ式中：瓢9一兰Zg／0‘29j裟岷铲iq呐州，⋯⋯∽Ⅲ2。+．tg。+⋯+gJ，～+J一‘’。’Rj(q一1)=l+rj，lq一1·卜···+rj。，一lg‘。‘，。。1’．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2—13)Sj(q一1)=邑。o+s，．Iq一1+⋯+s／儿q一～(或邑。几一．，q一‘～吖’)⋯⋯⋯(2—14)因为式(2．II)中有一项包括已知项和未来未知项，需将其分解，这里采用引入另一Diophantine方程将其分解为已知项和未来未知项的方法。即：而Gj(q-')吲q-!⋯√器⋯⋯⋯⋯胞彤)式中：degGj=n6+y-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-16)degGj=_，一1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-17)Gj(g一‘)=gJ，o+g譬．Iq一1+⋯+g．，．．，一Iq一‘／一n⋯⋯⋯⋯(2—18)degEj=max{n。一l，％一I)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2·19)易(g一1)=局．o+E／．Iq一1+⋯+E／"lg一‘一‘-1’(或q．一．一Iq一‘～_1’)(2—20)将式(2．15)代入(2．11)，整理得系统的j步导前输出：17 北京化工大学硕士学位论文m枷咆(g-1)△砸小”鬻酬¨)⋯⋯协2。，+瓦Sj(q万-1)y(f)+Rj(g一慨+／)上述j步导前输出是根据系统真实模型参数推导出来的，而系统真实参数通常未知，实际控制其实根据理论模型(估计模型参数)设计的，由于系统真实模型参数与理论模型参数不完全匹配，存在模型误差，因此用理论模型(估计模型)参数表示的j步导前输出为：蹦州两旷慨小聃鬻⋯，⋯．协22，+器mM盯K∽■脚加_1)州州叫+鬻叫-n⋯⋯协23)+鬻儿眦盯K∞螂)上述是系统真实模型输出J，(七+／)差一个模型输出误差，利用k时刻一致的模型输出误差：P(尼)=y(k)-y。(后)来修正，于是经修正后的J步导前输出为：当j步导前输出长度J取不同步数时，式(2．23)中的詹，，参，甸，岛的数值也不同，需要按Diophantine方程式(2．10)、式(2．10)重新计算。下面给出它们的地推计算公式。对于爻，(g一1)、§，(g一1)的递推公式：毫+l(g‘1)=Rj(g。1)+力g一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2·24)t+I(g一1)=g【j』(g一1)一万(g‘1)0】．．．⋯⋯⋯⋯⋯(2-25)将匕式展开，令同次幂系数相等，可得： 第二二章多变量广义预测控制算法对于Gj(g’1)、易(g叫)的递推公式：6J+一59一‘?I二-z；j(g『|1’_^e(留一1)【o，+·(g一‘)一(≥．，(g一1)】⋯．．⋯⋯．(2—29)+g叫[g叫E『+I(q叫)一层，(g-1)】得：弓+l(g一)-'Gj(q。)=g一70雪(g一1)⋯⋯⋯⋯⋯．(2．30)将上式代入(2．29)得：。q-J：j．B(q．-．')=C(．q一1’!句+I(q-1)—_o，(留一1)】⋯⋯⋯⋯．．：：(2-31)+g一％一1钆(g一1)一言加。1)】⋯⋯“因句+，(g一1)为一个j次多项式，可令其为：句+。(g一1)一句(g一1)=否(g一1)+参．，q一．，⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2．32)否(g一1)=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2．33)所以有：。句+．(g一1)=句(g一1)+誊，q一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2．34)将(2．34)代入(2．31)后有：匆+。(g。1)=g[匆(g一1)+0雪(g一1)一雪』e(g一1)】⋯⋯⋯⋯⋯(2．35)将式(2．35)展开，并令la-J次幂系数相等后有：雪，=乞．。+瓦01“=‘．+‘‘一‘c：+Io=0,1ej+ljeji+1b1．,rjgj0，⋯，nc—1)}⋯⋯⋯⋯(2一一3—6一)‘2．+一cⅢ【l2，⋯，。一1)}⋯⋯⋯⋯(一Ej(q一)=占"+占"垡q+．．．+乞"lg饥哪I初值：咿1宁烈鼍一)。鼍‘!卅’i60L⋯⋯⋯⋯⋯(2-37)／宝t(q_)=q[B(q一)一60qg。1)】I式(2·34)、式(2-35)及初值式(2-37)给出了甸(g一1)、Ej(q一1)的递推计算公式及初值。假设Au(t+j-I)=0当，>M比较式(2．II)和式(2．21)，并令：w)2尜⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-38)19 北京化工大学硕．上学位论文玎)=等⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-39)则可导出从j=l到j=p的多步导前输出值：Y(t+1)=GAU(t)+F(g～)Au(t一1)+-S(q一1)y(f)+^P(f)+孝O+1)⋯⋯⋯(2—40)AU(t)=【Au(t)，Au(t+1)，⋯，Au(t+M一1)】T⋯⋯⋯⋯(2-41)凡1=黼嚣，⋯，鬻]T．．．⋯⋯√2讹)乳1-[鬻，S吖2(q-'，)．，⋯，鬻]T．．．⋯⋯√2弼)h=魄，^2，⋯，hp】T⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2—44)占(‘+J)=：【Rt(g。‘1)孝(‘。+·1)，R2(g—。1)孝(‘。+·2)．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2．．45)G=OPxM⋯⋯⋯⋯⋯(2-46)GPC采用有输出误差和控制增量加权的二次性能指标，=E缸o+1)一‘(f+1)rQ【y(f+1)一‘(f+1)】+△uT(f)勉u(f)；⋯⋯⋯(2-47)式中：r(f+I)=陟，(f+1)，J，，(f+2)，⋯，y，(t+e)Ir⋯⋯⋯⋯(2-48)将式(2．40)代入上式有：，=e{t6a“o)+F(g一1)△“(f一1)+i(g一1)y(f)+JIlPo)一E(f+1)+占(f+1)】TQ[GAU(t)+F(g～)au(t一1)⋯⋯(2-49)+i(g一1)y(f)+^df)一rO+1)+占(f+1)】+△UT(f)勉UO))iRllaAU(t)=O整理化简可得：△!o)=．(GTQG+允)G1Q【I(‘+1)一F(g一)⋯⋯一(2-50)一S(q叫)y(f)】一he(t)瓦簟：．坼 第．二章多变量广义预测控制算法最优控制律：Au(k)=dT【一O+1)一F(q一)Au(t一1)一-g(q一1)y(f)一JjlP(f)】⋯⋯(2—51)式中：dT=(1，0，⋯，O)(GTQG+2)一1GTQ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2—52)得：材(七)2F南q_I)[Dr(q-!)y，(Hp)一句(g一1)Sc(q-1)⋯⋯．．(2．53)×晚(g一1)孝(f)一6|，(gq)砖(g_)Po)F(q一1)=FcCq一1)+s。(q一1)e(g一1)G／(q一1)Fo(q。1)=÷【(1一qq)+d卜q1(1-q。1)F(gq)]疋(g。1)=÷dT歹(g。1)瓦(g_)=Sc(g。1)+■铲毒扣，Dr(q-i)2亡似P“印。+．．．州lq-P+1)．．．．．．．．．．．．(2．54)当被控制对象的参数未知或慢时变时，需利用最小二乘法在线辨识和更新参数。显式广义预测自校正控制器的设计步骤如下：1、置初值P、M、Q、力、口、o(o)、e(o)；2、用系统辨识确定模型阶次；3、读取y(f)；4、用递推最小二乘法估计模型参数五(g一1)、b(q一1)、e(g一1)；5、用五(g一1)代替彳(g一1)，计算万(g一1)；6、用式(2．24)、式(2-26)、式(2．29)及式(2．34)、式(2-36)、式(2—37)计算Rj(g一1)、Sj(g-1)及G，(g．1)、q(g-1)参数；7、用式(2．46)组成矩阵G；8、递推估计逆矩阵(GTQG+名)～；9、计算矩阵(GTQG+名)一GTQ的第一行dT2l 北京化工大学硕士学位论文10、由式(2-54)计算D，(g’1)、S。(g一)及C(g一)、F(q。1)11、由式(2—53)计算控制律u(k)12、返回计算步骤32．3多变量广义预测控制的算法推导2．3．1过程模型设被控对象有m个输入和n个输出，用CARIMA模型表述为：A(q一)y(f)=B(g一)“(f—D+ZC(q。1)善(f)⋯⋯⋯⋯⋯(2．55)凸，这里A(q_1)，B(q川)和C(q。1)分别为nXn，nXm，n×n多项式矩阵，即A(q-1)=I+AIq一1+⋯+以．q一～⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2—56)B(q一)=Bo+忍g。+⋯4-B～g—h⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2—57)c(q。)=，+q9—1+⋯+C09一即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2．58)少(f)，“(f)和g(f)分别为nXl输出向量、m×1输入向量和n×1零均值白噪声向量。△是n×n对角差分矩阵，即A=diag{1一q一}为推导简单起见同时又不失一般性，令：彳(g。1)量diag(A,(g。))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2．59)B(q一’)=马l(gq)岛j(g_)玩。(2_)B12(g。)％(g一)E2(g_1)⋯丑。(g-1)⋯岛。(g-1)⋯瓦(g。1)⋯⋯⋯⋯⋯(2．60)c(q‘1)暑diag(C,(g。1))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-61)^(q-i蜊=喜M(力+q警⋯⋯⋯．(2-62)，=Iu以(g一1)=l+aLtq一1+⋯+口f．～q一“⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-63)岛(9一)=6，．o+岛，Iq一1+⋯+岛，，q—J．⋯⋯⋯⋯⋯．．(2—64)Cj(g一1)=l+q，lg一1+⋯+c，嘶q一一f⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2—65) 第二章多变量广义预测控制算法2．3．2引入Diophantine方程考虑下述Diophantine方程：C0(g一1)=点k(g一1)彳盯(g．1)△+q-kFk(g一1)⋯⋯⋯⋯⋯(2—66)其中，玩(g。1)，矗(gq)是由以(g。1)和预测时域k唯一确定的多项式。E正七(g一1)=白．D+P，，lg一1+⋯+8，。★一Iq一‘七一n⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2—67)瓦(g_1)=Z，o+Z，Iq-1+⋯+Z，～q一“⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-68)(2-62)式乘以％(g一)△代入方程(2—66)得：G(g‘1)y，O+_，)一瓯(g一)qO+／))：Ea(qq)艺岛(g一1)“，o+／一1)+瓦(g一1)J，，(f)⋯⋯⋯⋯‘2-69)j曩l则期望的输出值为：cjj(g卅)允(f+七)=Ea(q一)∑Bo(gq如，(f+七一1)+Fa(q川)J，，(f)⋯⋯．(2—70)i-I输出的预测值可由(2-70)式递推求出。再考虑如下Diophantine方程：l=M琏(g-1)CfI(g．1)+g-七“(g-1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2·71)其中M请(g叫)，以(g-1)是由巳(g-1)和预测时域k唯一确定的多项式。M扯(窖一1)=mj．o+聊j，iq一1+⋯+mj，I—lq一‘‘一n⋯⋯⋯⋯⋯(2-72)以(g一1)=一．o+刀，，Iq一1+⋯+刀，．即一Ig一‘^c—n⋯⋯⋯⋯⋯(2·73)将(2．71)式代入(2．70)式乘以M跌(gq)得：讹十啪=帆(g一1)风(g一)Z闰Bv(q一1)uI(f+七一n⋯⋯(2．74)+(^，腩(g．1)JFk(g一1)+^k(g一))J，，(f)令：M髓(g-1)Ea(q一1)Bu(g一1)=Gu(g一1)+g一7G硝(g。)⋯⋯⋯(2—75)Go(g叫)---M雎(g一1)乒k(g一1)+Nf，(g一1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-76) 北京化工人学顾：卜学位论文2．3．3输出预测表达式式(2．74)可写为：夕f(t+kit)=∑G驴(g一)Au∥+尼一1)+∑G硝(g～)Au∥一1)+GO(q。1)yf(f)(2—77)1=1j=l其中k=-0，1⋯⋯N．1。即：夕f(t+kit)=∑G．f，(g～)Au』(f+七一1)+Z(f)⋯⋯⋯⋯(2-78)j=l其中：fi(t)--XG硝(g一)Au，o一1)+GO(q一1)y，(f)⋯⋯⋯⋯(2·79)2．3．4目标函数性能指标为：min，(Ⅳ'ⅣI|)：兰愀f+卅f)一以f+／)旺+兰lI△“(f+／一l岖⋯⋯⋯(2．80)其中：N为预测时域，玑为控制时域。YrO+／lt)为系统第i个输出的最优k步向前预报，tar(t+／)为第i个输出t+k时刻的设定值或参考轨迹，Au(t+j-1)为输入t+j．1时刻的增量。2．3．5控制率求解夕，(t+lit)--XGu(g一)au』o)+Z(f)，暑l允(mIf)=否G{，(g。1坳∥+2)+俐⋯⋯(2-81)夕，(f+MIf)--Eo{『(g～)au，(f+ⅣI+1)+Z(f)24 第二章多变量广义预测控制算法其中：k取1到M。由此得到下式：其中：气：羔{G扩U盯}+z』=l气=[夕．(t+llt)，⋯夕。(f+／)】TUv=[△“』(f)，Au』(f+1)，⋯，Au／O+Ⅳf+1)】r以f+j『)=【H(f+，)⋯％0+／)】TZ--1／,，厶，⋯，f／Nt】7’q=gol。ogo,．。Og‰g《WI箨l^gHNi．Kt-t⋯gHK。m得到：6u(t+j一1)=【△“l(f+歹一1)⋯Au。(f+／一1)】T⋯⋯⋯⋯(2-83)R，Q为正的加权矩阵，R=diag(R1，⋯，R。hQ=diag(Q，，⋯，Q辨)。在不考虑约束的条件下，由预测模型(2．78)，可求出使性能指标最优的全部控制增量：Aui=D(w-f,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-84)式中：D=(GTRG+Q)一GTR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2．85)Zo)=∑G删(g一)6u，o一1)+Go(g。1)yf(f)⋯⋯⋯⋯(2-86)1=i设dT是矩阵D的第一行。即时控制量为：“f(f)=材，(f—1)+dT(嵋一Z)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-87)式中：M=【M(f+1)⋯Ⅵ(f+Ⅳ)】T⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2—88)Z=【Z(f+1)⋯Z(f+Ⅳ)】T⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-89)OO；一．．● 北京化工大学硕二I：学位论文整个控制以滚动优化方式反复在线运行，其算法结构见图：图2-1多变量广义预测控制算法结构示意图Fig．2-1MultivariableGeneralizedPredictiveControlalgorithmstructurediagram2．4多变量单值广义预测控制的算法推导多变量单值预测控制的基本思想是：只用未来某一时刻的预测值y(k+j／k)来求解当前的控制作用，相当于在广义预测控制中取N=J>d，M=l的情况，因此计算量只是广义预测控制的几分之一，有利于实现实时控制。A(q一)y(七)=B(q一1)“(七一1)+C(q一‘)孝(七)／△⋯⋯⋯⋯⋯(2—90)A(q一1)=A(q一1)△=a(q～X1一口一1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2．91)为了简化算法这里假定c(q一)=I，则(2-90)式转化为：A(q-1)y(七)=B(q一)au(k-1)+，×孝(七)⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2—92)引入Diophantine方程： 第二章多变量广义预测控制算法，=E(g。)万(g一1)+g。Fj(q一1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2．93)其中j--1，⋯，N，并且E；(g_1)=Eo+巨g-1+⋯+Ej—lg一。+1⋯⋯⋯⋯⋯(2—94)Fj(q。)=尉+曩79q+⋯+砭g一～⋯⋯⋯⋯⋯(2—95)用E：(g。1)乘以(2-90)，并利用式(2．93)化简后有：．y(后+jf)=弓(g一1)Au(k+i-I)+Fj(q一‘)y(露)+E；(g一1)孝(七+歹)⋯⋯⋯(2．96)式中：G—j(g一1)=B(q一1)髟(g一1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(2．97)degZ--n"1．．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(2．98)显然上式右边前两项与第三项不相关，如将前两项看成最优预测，则第三项即预测误差，所以(2—96)式可写成：)，(七+_，)=Yp(后+歹／后)+髟(g。1)孝(七+_，)⋯⋯⋯⋯(2—99)所以j步导前最优输出预测为：Yp((后+歹)／足)=巨(g一1)Au(k+j-1)+Fj(q一1)y(忌)⋯⋯⋯⋯(2．100)若不考虑模型估计误差的影响，即认为：6(g一1)=G(q一1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2．101)这时有；2(后)=y(七)一Y。(七)=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-102)由于在最优预测式(2—100)中，右边第一项包含未来项和已知项，对于j步导前输出预测有：以，力份，·oAu(k+j--1)+G2,iAu(k+j-2)+⋯．⋯⋯．(2．103)+qJ．1△“(七)+(刁√Au(k一1)+⋯+Gj一．u—lau(k-n口)+局(g_)y(七)⋯。对于单值广义预测控制，预测时域长度只取J=N一步、控制时域长度取M=1，即有：yp((后+j)／k)=GP，P—l△“(后)+Gp,pAu(k一1)+···+Gp。知+e_lAu(k一刀占)+乃(g。)y(七)⋯⋯⋯⋯(2-104)=耳(鼋一)△“(七)+Fj(q一)j，(后)式中。 北京化工大学硕：}：学位论文耳(g一)=GP，JP—I+GP’Pq一+⋯+G尸．～+P-lq叫‘⋯⋯⋯(2—105)单值MGPC的最优预测控制律可通过下列加权二次型性能指标求得：／P=llJ，，((后十p)／k)一Y，(尼+p)0三+Il△“％时，岛=0，i>刀。+1时，瓦=0。当知道脉冲响应序列值，要确定差分方程参数时，由于一般有N>刀4+％+1，所以式(3·10)提供了过多的信息，如果截取G(z以)前，l。+％+1个参数，则有确切的转换关系：lO⋯O⋯010⋯0一gl0⋯001⋯0一gz—gl⋯0：’．⋯：●00⋯1一g～一g％一l⋯000⋯0一g～+l—g～⋯一gI●：⋯：0⋯0一g疗．+一．一g～+一-一I⋯一g～+lgl9293g％+lg％+2g～+一．+I(3．14)3．1．2．3差分方程模型和状态方程模型将式(3一11)代入式(3．5)，有(1+瓦z-1+⋯+瓦+lz一‘～+1’)y(七)=(60z一十6lz．2+⋯+％z一～)△“(后)+(1+qz-1+C2Z一2+⋯+Cnz一～)国(七),上式描绘了Y、Au和功对离散时间的相对关系，整段时域的提前和退后不影响输入输出关系，所以两边同时乘以z～"，上式可写为典范差分方程形式：y(k+n。+1)+51y(k+，l口)+⋯+a—n,+Iy(七)=boau(k+n。)+⋯+气au(k+n4+l一刀6)+彩(东+na+1)+cI彩(露+以口)+⋯+气彩(后+刀口+l一疗f)令：37％轨也；‰瓦；瓦 则有：北京化T大学硕』二学位论文xl(后)=y(k)一doAu(k)一foco(k)X2(露)=xl(k+1)一dlAu(k)一Aco(k)x％+l(七)=X甩。(后+1)一d一。au(k)一无。co(k)xl(后+1)=X2(后)+dlAu(k)+Zoo(k)恐(七+1)=x3(k)+d2Au(k)+六co(k)⋯⋯(3．16)Xn。“(七+1)=一瓦+I五(后)一⋯一互h“(露)+d‰+I△“(露)+厶+lco(k)从而有离散状态方程和输出方程这里(3-17)x(⋯k+I)⋯=G．、x(k)+．DAu(七)+砌(舶⋯⋯⋯⋯⋯(3-18)y(露)=厶k(|j})+兀co(k)一一一。一一。⋯一。G=D=Ll0Ol—a％一a％一l引x(k)为露4+1维状态变量，并且4、Z分别为村磊=0，dI=bo，d2=A一玩dl，d3=62-ge2一瓦盔，⋯一般式为：I-Ifo=1，Z=c。一互厶，厶=c：一瓦石一-2厶，⋯(3．19)通式为I石--'--ci一∑瓦矗．，(osfs刀口+l，i>n。时，q=o)⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3·21)』Il对比式(3-13)和式(3—9)可知，d，就是岛，即D中个元素就是系统输出对输38、●●●●●●●●●-、oo；哥■OO；一％一、lIIl●●llI●，●2～dd；d，，--．．f。．。。．。。。。．。．。。．．．-。．。L)O2．2J()O=岛时6阼>-．‘●_■+4玎<一●●‘Vl●l(吖J一町∑同一岛=d 第三章预测控制系统的分析与研究入的单位脉冲响应序列前n。+l项；同理，_(f=o，l，⋯，拧。+1)是输出对噪声的单位脉冲响应序列前n。+1项。由H、G、D、F，可以验证：HG卜1D=df，HG’1F=正(f=1,2，⋯，”。+1)可见，式(3．11)是式(3-5)的状态实现，而且是最小实现。由状态空间模型求受控自回归积分平均模型的问题，也就是由已知的G、D、F、H和厶确定A(z一)、B(z。1)、C(z叫)。对式(3．14)两方程分别取Z变换，并将状态方程代入输出方程，得：y(z)=H(zI—G)叫DAu(z)+【H(zf—G)叫F+fo】缈(z)，．HadjI(zI-_GI)DA甜(z)+IzI—GI～型坠鲁等丝型比)⋯@。22’lzI—Gl一式中adj(zX—G)为(zZ—G)的伴随矩阵，p—Gl为(z／-G)的行列式。由式(3．16)有北)=端徘)+器蚺⋯⋯⋯⋯(3-23)对比上两式，有：aA(z-1)=IzI—Glz-‘％“’，A(z卅)=鲋(z卅)／△B(z一)=HadjCzl—G)Dz一‘～¨’，c(z)=[Hadj(zI—G)F+厶lz，一Gl】z一‘‰+1’(3-24)3．1．3模型描述的统一形式贝尔曼((Bellman)等人50年代后期提出的状态空间法，适用于多输入多输出、时变、非线性、随机、采样等各种系统，具有表示灵活、简洁、全面，运算方便等一系列优点，所以，上述几种预测控制的模型描述，均可用状态空间法统一表示。如果将脉冲和阶跃响应模型也作为参数模型看待，则可不必进行非参数到参数模型的转换，而直接按状态空间法描述，不过，此时的状态实现已是一种非最小实现。3．1．3．1脉冲响应模型的状态空间形式对于任意输入Au(k)，不考虑噪声，由式(3-2)有：y(k)=(go+glz卅+⋯+gNz一Ⅳ)Au(k)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3·25)与式(3—5)相比，有鲋(zq)=1，a(z一)=G(z卅)。用以上的方法，有：39 北京化．T大学硕：L学位论文式中：G=x(七+1)=馓(七)+D“(舫⋯⋯⋯⋯⋯一(3-26)J，(尼)=Hx(k)4-dou(DO1O⋯00O1⋯OO0O⋯1OO⋯O，D=，日=h(后)，xc尼，=l}2(后)Lh(后)(3-27)dt=gfO=0，1，⋯，忉3．1．3．1阶跃响应模型的状态空间形式对于阶跃响应模型，考虑任意输入au(k)，假定输出初始值为零，不考虑噪声时，有式(3．4)，这里与脉冲响应模型相同是：鲋(z_)=l，但是：B(z一1)=ao4-alz’14-⋯+口≥z一Ⅳ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3-28)不同，状态空间表达式同式(3．19)，且G、H相同，仅D的元素求法不同：dj=a；O=0，l，⋯，Ⅳ)。以上讨论了预测控制不同模型之间的关系，给出了转换公式，为预测控制的设计和分析提供了方便。尽管目前的预测控制算法绝大部分不是以状态空间法表示的，但状态空间表示法的确具有普遍意义，可作为一种模型描述的统一形式，并且有关学者指出，用状态空间法描述的预测控制算法具有大大减少在线计算量的优点。3．2预测控制的设计参数研究通过第二章对预测控制的讨论，我们了解到设计参数与系统的控制性能关系密切。如何设计一个稳定性好、响应迅速、抗干扰性强、适应性广泛的预测控制系统，一直是控制系统设计者追求的目标。由于预测控制的设计参数与控制性能间并无定量的关系式，使得设计难度进一步加大，现有的经验思路是：在模型匹配时，通过参数设计，使系统稳定运行；当模型失配时，调整反馈回路中的反馈滤波器，使闭环稳定，并获得一定的动态品质和鲁棒性能。与最优控制和广义最小方差控制相比，预测控制性能指标中的设计参数增加了。这为控制系统的设计者提供了更多的选择余地，同时也给设计者提出了全面掌握设计参数与控制性能间关系的要求。对于设计者，尤其是初学者，弄清设计参数和控制性能之间的关系，并用相应的结论指导设计，确实具有重要的意义。本节以单变量和多变量系统为例，讨论设计参数与控制性能之间的关系，从中得 第三章预测控制系统的分析与研究出的结论，对于一般预测控制系统都适用。预测控制系统的性能指标一般表示为：PM，=∑gf[J，肚+f)一y(后+f)】2+∑rjAu2(k+y-1)⋯⋯⋯⋯(3-29)iffilj=l用矩阵／向量形式可写为：，=[L(k+1)一】，(后+1)】rQ【】：(七+1)一r(k+1)】+AU丁(k)RaU(k)⋯(3-30)其中Q=diag[q。，q2⋯q口】为输出误差加权矩阵R=diag[fi，r2⋯ru】为控制加权矩阵r(后+1)=【Yr(后+1)，Y，(后+2)⋯Y，(尼+尸)】r为参考输入向量Y(k+O=f)，(惫+1)，y(k+2)⋯y(k+一】r为系统输出预测向量AU(k)=【au(k)，Au@+1)⋯Au(k+M—1)】r为待求控制向量这里需要确定的设计参数有：预测时域长度P，控制时域长度M，输出误差加权矩阵Q和控制加权矩阵R，另外，还有采样周期瓦和模型长度N(对非参数模型而言)。3．2．1预测时域长度P和加权矩阵Q从式(3-29)和(3．30)看，P表示对从k时刻起未来多少步的预测输出接近参考值的情况。为了使滚动优化真正有意义，应该使预测是与长度P包括对象的真实动态部分，也就是说应把当前控制影响较大的所有相应都包括在内。一般P选为近似等于过程的上升时间。如果对象采用最小化参数模型，则P应选为大于B(zq)的阶次。我们的目的是求使J为极小的控制，也就是求在未来P步时段内，输出预测值与参考值的差值达到极小。而g，是对时i)步差值的加权，表示对该步误差的重视程度【63I[641。我们可以分两种情况来讨论：一是如果P取得过小，极端情况为P=I，此时问题变为：未来一步内，通过选择最优控制△“(后)，使输出跟踪参考输入。如果模型准确，对象普通，则可实现一步跟踪，也就是实现一步最小拍控制。但是假如模型失配，或者存在干扰，或者系统为有时延及最小相位系统，要在一步内跟上参考值是不可能的，很容易产生系统不稳定现象。另一种极端情况是在保持有限控制时域长度M下，P取得充分大，输出在充分长的时段里才能跟上参考输入，这时输出预测值几乎只取决于M个控制增量的稳态响应，虽然为动态优化，但实际已经是稳态优化了。所以优化控制对改善系统的快速性和动态响应不会产生什么作用。另外，过大的P会使参与运算的4l 北京化工大学硕士学位论文有关控制矩阵阶次增大，从而增加计算时间，降低了速度。由上述两种极端情况可知：P取得过小，虽然可提高系统的快速性，但是稳定性和鲁棒性较差；P取得过大，虽然稳定性比较好，但动态响应速度慢，难以满足改善控制性能的要求，且增加了计算时间。所以，P的选择要在快速性和稳定性之间综合权衡，根据情况而定。预测时域长度P应该包括响应的大部分动态过程，如果对象选用的是最小化参数模型，则P应选得大于B(z-1)的阶次；如果对象包含纯时延或者是非最小相位系统，P应选得超过对象的纯时延，或非最小相位特性引起的反向部分，并覆盖对象的动态响应。Q为误差加权矩阵，一般选为对角阵，即Q=diag[q。，g：，⋯q口】，以免未来不同步的量相关联，从而使问题复杂化。它决定了相应误差项在优化指标中所占的比重。g，值的选择对系统的稳定性有直接影响。对纯时延和非最小相位系统的反向部分，可取相应的加权系数为零，因为，不可能指望在这几步的输出跟上参考输入。其他情况的加权系数可均取为1，这是因为预测控制实施的是滚动优化，没有必要对未来各步输出误差区分重视程度。g。={：)善耋菇(Ⅳl是系统时延或反向部分引起的时延)(3-31)3．2．2控制时域长度M和加权矩阵R控制时域长度M在优化性能指标式(3．29)和(3—30)中表示所要计算和确定的未来控制量改变的数目。救赎改变多少步控制量才能使输出跟上参考输入，所以一般有M2的情况，很难用几何方法求解。为了简化计算，针对GPC仅对当前控制信息进行了约束，也需要对未来时刻的预测控制信息施加约束，否则未来预测控制信息可能是无意义的，因此无法利用。另外，如果未来控制信息在约束之外，可能会导致闭环不稳定，或在多变量情况下，使解耦特性变坏。49 北京化．T大学学位论文为此，本文以二次规划作为滚动优化策略，针对有输入、输出幅值限制以及输入速率约束的广义预测控制问题展开讨论。鉴于大多说工业过程控制无须采用后移限位约束的事实，为了改善系统的性能，充分利用已求得的控制信息，减少计算量，不采用后移限位的做法，而是采用M步加权控制率：_|lf订(f)=∑∥iu(t／(t—f+1))f=l同样使系统的动态性能得到明显地改善。这里：M∥，>．o，E∥f=1，u(t／j)(j=f—M+1，t—M+2，⋯，七)i=O是j时刻求得的t时刻的控制量。为了避免控制量幅值过大，通常采用如下形式的性能指标：J=(Y—r)TQO"一E)+名UTU】，一P为预测输出列向量；Q—PxP维加权阵；r—P为参考输出列向量；五一控制量加权因子；U—M为控制列向量。上式第三项2UTU是对U起一定的限制作用，以免U值过大。笔者认为在对U做了约束限制以后，该项可以从性能指标中去掉，以减小计算量。仿真结果表明，去掉该项同样可以获得满意的控制效果。滚动优化模型的推导被控对象：A(q-1)y(f)=B(q以)”O一1)+w(t)／A⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4．1)其中，Y为系统输出，“为系统输入，W为均值为零、方差为万2的白噪声，△为差分算子：A=l—g一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4-2)A(q一)=l+∑qq～⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4-3)i=lhB(q。1)=∑b,q一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(¨) 第四章有约束过程的预测控制⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4．5)通过求解Diophantine方程，可得P步最优预测输出：式中：Y=GAU+Fy(t)+HAu(t—1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4．6)一，=IGj(q一1)=Zg，q。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4—7)i=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4．8)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4．9)Y=【夕p+1)，J，O+2)，⋯J，(f+p)】T⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4．10)AU=(△”O)，Au(t+1)，⋯，Au(t+M—1))T⋯⋯⋯⋯⋯(4．II)G=F=(‘，E，⋯，B)T⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4-12)H=(日l，H2，⋯，HP)T⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4-13)go0glgo●gu—igjI，．2⋯gege-igP-2⋯gP—M将未来P步参考轨迹序列表示成列向量：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(禾14)‘=(y，O+1)，Y，(f+2)，⋯，y，◇+D)T⋯⋯⋯⋯⋯(4—15)其中：”(f+f)--r_orgy(t)+(1一口：)嵋o<口，所)。8二维参考轨迹定义为：髅％璺alY始峥1)+(卜at蚋(j=l’2，⋯’P．i=1'2)⋯⋯⋯(4-59)【y一(七十歹)=，i(惫+歹一1)+(1一扮f(七)。7’7式中，0≤a。≤l，墨(七)是当前设定值。令：扰f(七+j+1)-uf(七+歹)=层【”f(足+歹)一毪(是+歹一1)】⋯⋯⋯⋯(4-60)式中：屏≥0，i=l，2为输入柔化系数。则由定义式(5．55)和式(5．60)，有：Au；(七+j『)=【1+局4-．．-+∥】△“，(七)=∑∥Au，(七)，i=l，2⋯⋯(4—61)定义：触57 北京化-丁火学学位论文fd；=(嘭，o+彰-I'o+⋯+区o)+(嘭_1．o+⋯+醴o)屏+⋯+j(噬．o+6f。)∥～+b1．otP／‘一⋯．(4-62)IE，=(1+届+⋯+屏卅)【最，=(1+反+⋯+∥_)取如下性能指标：以=三鬈移，(后+／l七)一y一(后+／)】2+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4．63)五△“；(后+／一1)；f=1,2极小化以，z)．ac2缸／'t，=。，即可求得：△“，c·t，=：_{霎[(c，jY+；t,(EuY]，t一1，c．．．．．．．．．．．．．．．．．．(；。．64，L．，；l，r4一‘4、{雾dj陟删c七+，，一y—c忌+／，寸，t=·，2假设对输入及其增量的约束分别为：“f。面≤％(尼+／)≤Ul嘣△"imh≤Auf(七+_，)≤Auf嘲，，_，=0，l，⋯，p—l；f=1,2⋯⋯⋯⋯⋯(4-65)由式(5．54)，(5．61)及式(5．65)，可化为△％mjn，≤Aul(七)≤Auf啪。，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4-66)r口一d—I缸曲p=maxt(∑∥，)一“响-u(k—l”，式中，。舢、(∑∥’)。1Au8}△“一P=min{(∑∥，)。10一一”(七一1))，L／ffiop-d—I1(∑∥’)一△“一}这样把对输入的各种约束都归结到一个式子中如果求出的Au，(后)均满足约束式(4-66)，取式(4-64)为实际的Au，(七)，否则取约束式(4—66)中的△”。懈，或△“，旆，。时刻k的控制律取为：△“，(后)=“，(七一1)+Aui(七)，i=1,258 第四章有约束过程的预测控制对二阶以上的多变量系统，可采用完全相同的方法设计受约束的广义预测控制器，故本文的结果可推广到任意多维多变量系统。4．2．4有约束多变量DMC算法的研究设一个多变量过程有nB个输入(MV)，ny个输出(Cv)，此外还有nd个可测但不可操纵的扰动变量(DⅥ。我们令预测时域为P，控制时域为M。设第i个输出与第j个输入构成子系统的动态模型可用阶跃响应序列近似描述为：％=【％(1)，勘(2)，⋯，％(P)】r，扛1，⋯，ny，／=l，⋯，删⋯⋯⋯⋯⋯(4-67)定义：输出向量：y=[yl，Y2．*esy删】r输入向量：U=‰，“2，⋯，”。】扰动向量：d=H，d：，⋯，九】Y与U的动态系数阶跃模型：[s?，s；，⋯，s：】7’JllO)s2l(f)s12(D％(f)蜀。(f)s2。(f)s删I(f)j缈2(f)Snyn。(f)i=1，2，⋯P⋯⋯⋯(4-68)Y与d的动态阶跃系数模型：[s?，s：d，⋯，s；】r同时，第i个输出与第j个输入构成子系统的差分方程可以写成以。=端～札⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(蚴，增量型式：以炉南auj(k)=鬻州⋯⋯⋯√钾∞其中以乜一1)=l+ai，g-t+⋯+a嘞z一吩，岛=～z‘1+⋯+‰z叫～，q(z一1)=Zd+(口l—1)z小白+⋯+(口吻一口吻一1)z一嘞+毛+(一口唧)z一嘞_1+白。把过程的零输入预测模型与零初值模型相加，就得到了系统的预测模型：59 I后)：G『．爹b⋯氍≥北京化T大学学位论文(七Ik-1)+1I七-1+plk一一兰：]lk)]阿1)I+lr)Jh(JP)多输入多输出系统的预测模型可以这样表示：Au』(七)na=max(na驴+l+d矿)i=1,2，⋯，缈，J=1,2，⋯，nUnb=max(nbU)i=1,2，⋯，ny，J=1,2，⋯，nun=max(na，nb)令：4=[口：l(f)口：I(f)口：2(f)口；2(f)口‰(f)口0z(f)则过程的预测模型：口--!lnUr"。n-I]《oDl㈦'2'⋯，刀：l口‰。(f)Jr(klk—1)=ZY(k-1lk-1)+Y(klk-1)=m刊栌匿⋯⋯⋯⋯(4．71)(4_72)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4．73)三1r==t，：：，···，J)．．．．．．．．．t：4—j，—·：，1●●●●●●●●●●●●J、，尼”D“¨2P+后尼尼又义义yy；y—．．．．．．．。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。．．．．．．L+D”“叫2P+七后尼，L，L，L，：f；yy；y”D“¨2尸+后尼尼，-、，L，Lyy；yDo一bm限舷"“△△；△“●”2HPSS；SD—D七)一l■七一肾川"后七七yy；y 第plj章有约束过程的预测控制Z=0I唰0O0A。Ol嘞咿4尸⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4．75)这次介绍的快速算法本质上是采用先动态后稳态的方法，首先要保证输出被控目标，如果系统存在自由度，则还要保证输入经济目标的实现，由于只取每个输出的未来一个点进行优化，故如果是胖系统，则肯定存在自由度进行下一步优化，即经济优化；如果为方系统，则只需保证输出被控目标。该算法的首要目的是满足基本输出控制目标，即使得输出偏离期望参考轨迹上参考点的方差在满足约束的情况下为最小。min-，(足)=眵册一y70⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(4-76)得到：y呻2y婶七A幽MAu一≤Au≤“+“一≤甜o+Au≤“+≯Zr(klk一1)+In(Ym(k)-y(klk一1”一⋯(4-77)y一=[‰((露一1)木砂+1)，⋯，k((名一O*ny+ny)]7其中：A=Sll(日)$2t(冀)Snyl(％)8；2(异)822(B)8xy2(岛)⋯Sinu(墨)⋯S2mt(只)⋯J胖(弓)Au一=【缸iAu；⋯Au2,]7’为输入增量约束下限。Au+=[△“j缸；⋯△“二】r为输入增量约束上限。"o为输入变量上一时刻值“一=阻i“；⋯u2]7’为输入变量约束下限Ⅳ+=【甜÷“；⋯“二】r为输入变量约束上限Q=diag(ql，92，⋯，q。，)为权矩阵，p(y(k)-y(klk—1))为误差校正项。y(k)表示k时刻输出测量值。y(klk-1)表示k-1时刻对k时刻输出的预测值。只f=1,2，ny表示选取第i个输出未来第只个时刻进行优化。y；(七+只)=y，(七)+(J，JJ—Yl(七))(1一P一片。￡7五7)f=1,2，⋯，ny6I 北京化工人学学位论文上式中Y，(尼)为第i个输出的当前值，考轨迹的时间常数。通过变换得：令：f=一2ArQ7’(y7YPo)lb(i，1)=max{Au一(f，1)，0一(f，1)-Uo(f，1)))ub(i，1)=min{Au+(f，1)，似+(f，1)一“o(f，1)))得出：Y“为其设定值，Z为采样时间，乃。，为参i=1,2，⋯，，z“i=1,2，⋯，numin寺△U1"QA“+厂rAu⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(4—78)“二lb≤Au5ub进行求解，解得优化解为缸‘。将AAu=AAu奉作为等式约束经济优化：即在满足输出控制目标的基础上进行输入经济优化。mind=Huo+Au-u，眩令：Au一≤Au≤U+“一≤Uo+Au≤U+彳Au=AAu。t／o=‰。，“∞，⋯，U。o】r为上一时刻的输入值，Us为经济期望值，该优化的目的在于在满足输出要求的基础上进行经济优化。R=diag[rt，r2，⋯，‰】，需要优化的输入变量对应的权系数为1，其余为0。令：H=2R，厂=一2Rr(Uo一”，)得到：min三AurQAu+厂rAu⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4-79)“9。AAu=AAu幸lb≤Au≤ub得解△茚。当系统为瘦系统(输入个数<输出个数)或方系统(输入个数=输出个数)时，经济优化的解与基本优化的解是相同的。当系统为胖系统(输入个数>输出个数)，存在多余自由度时，基本优化有多解，则进行经济优化实现经济指标。可以看出，基本优化解决的QP问题只有nu个变量，nil个不等式约束，而经济优化所解决的QP问题只有nu个变量，111]个不等式约束，ny个等式约束。对于几个变量的系统，转化而成的QP问题维数很小，完全可以在DCS上编程实现。62 第四章青约束过程的预测控制4．3仿真研究单变量广义预测控制算法的仿真实例。下面是一十单变l--阶系统。仿真图中Y为被控变量，Y，为对象设定值，u为输入控制量的变化率。仿真系统输入输出参数模型如下：A(q“)=1—13q1+o7矿B(q。)=1+o5一C(q11=1一O5q1控制器参数：N=5；M．=5：P=diag(1，，1)；2=diag(OOl，O．01)；Y初值为0。被控变量和控制变量的约束条件分别为：0≤ysl，0．8su10．4。过程的仿真曲线见下图：(a)没加约束的y(c)01vS(b)没加约束的u(d)一08≤“≤04 北京化T大学学位论文(e)0≤vSl(d)一06≤“≤02图4-1单变量预测控制带不同约束效果的比较Fig．4-lThecomparisonofsingle-variablepredictivecontrolwithdiffdemcomstraints仿真实例：考虑一个2输入2输出系统：y(k)=AIJ，忙一1)+A．：y(I一2)+岛oⅣ(☆一1)+且，”(女一2)+cl。“曲+q．f件一1)其中：“=[：：斟如黼坍耻瞄斟耻瞄捌铲[兹1坍印[：：酱卜，《卜棚蚧设定值为幅值为1和5的方波。控制其参数：N=10；2v=5；P=diag(1，⋯，1)。(a)没加约束的y．／，“／＼t?＼、～(b)没加约束的Y2 第四市有约束过程的预测控制；翻(c)0≤Y11I，一2≤“I≤0(d)0Sy2≤I，0≤“2s5圉4-2多变量预测控制带不同约束效果的比较Fig．4-2Thecomparisonofmultivariable-variablepredictivecontrolwithdifferentcomstraints考虑一个二输入一输出的系统，其传递函数为：G(sH篙篙，该系统的主要控制目标是使控制系统输出Y到其设定值上，第二个控制目标为经济指标．使得第二个输入变量“．或者”，保持在零值上。我们得到如图4．3的仿真曲线：系统约束条件为：一5≤“1≤5·一5≤“2≤5，一0．5≤Aul≤0．5，一0．5≤Au2≤0．5。(a)Y(b)没加约束的“I和"2 北京化工大学学位论女8jY(b)加约束后的“l和”2图44多变量DMC带约束前后效果的比较(1)Fig,4-3Thecomparisonofmultivariable-variableDMCwithdifferImtcomstraiats(1)从上图可以看出，当系统没有约束的时候，输出Y跟踪的速度要快一些，但是”，和“，变化过于剧烈，尤其”，变化幅度与变化速率过大，这在现场生产中是不允许的，所以我们采取加入约束的办法，使％和”，的变化幅度与变化速率减小，这样既能保证系统的稳定控制，又能使现场波动大大减小，很有实际意义。第二种情况我们来看一下该算法如何自动处理系统的结构变化，在自由度存在的情况下保证经济目标，自由度不足的情况下，放弃输入经济目标，首先保证输出控制目标。假定各变量初始值均为0。在t--O一100时，控制目标取y=5，址=0；在t=-100．200时，控制目标取y=lO，“．=0，在t=-200-300时，控制目标取y-5，u．=0。我们得到如图4．4的仿真曲线： 第四章有约束过程的预测挣{6I露露蕊嚣零磊i露j囊、。；髫嚣磊翟￡藤瀑羹涟渊四(d)ut=0和0s“2s5，一1S幽2≤目(c)Y(D“2=0和0≤“l≤5，一l≤△“1≤l图4-4多变量DMC带约束前后效果的比较但)lqg．'l-4Thecomparisonofmultivar{able-variableDMCwithdLfferentcomstraInts(2)从图4-4中可以看出，t=O-100时刻．系统为一胖系统，存在多余的自由度，因此两个控制目标就可满足。当y：lo时，为了尽可能满足第一个控制目标，放弃了经济指标要求“：=0。t=200-300时刻，系统又恢复为胖系统，故又可以满足经济目标。可见，该多变量DMC算法可以实现控制结构的自动转化。4．4本章小结本章作者很好的将二次规划算法与广义预测控制相结合，得出含有约束问题的系统的控制方案，从仿真结果可以看出此算法能使约束系统的被控变量很好的跟踪它的设定值的变化。并且在多变量耦合系统对角解耦的基础上，研究了带输入约束的广义预测控制方案，保证了控制量在规定范围内变化，并避免了控制量剧烈变化，同时不必求Diophantine方程．使计算量显著减小，而且明显减弱了变量之间相互耦台。下⋯ 北京化工大学学位论文此外将对角解耦和DMC算法应用于的广义预测控制方案中，保证了控制量在规定范围内变化，并避免了控制量剧烈变化，同时不必求Diophantine方程，使计算量显著减小。约束DMC算法通过两级优化实现基本指标和经济指标，计算量少，对于输入输出维数较少的系统，可以编程在DCS上实现。 第五章多变量预测控制与PID的联系第五章多变量预测控制与PID的联系在经典控制理论与现代控制理论中，人们习惯于把控制器设计成设计变量与过程已知数据乘积的形式，事实上广义预测控制算法的控制器也可以写成类似形式。本章给出了一种简单的预测．PID的转化方式，而且通过对广义预测控制算法自由响应项的进一步推导，得到了状态反馈形式的广义预测控制器，并给出了控制器系数的计算公式。5．1引言PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值r与实际输出值y(k)构成控制偏差，eCk)=，一)，(七)，将偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器。位置式PID控制算法为：—Lu(k)=Kp￡(后)+K，∑e(J)+KD(e(七)一P(七一1))』=o式中：k=O，l，2，⋯；u(k)为第k次采样时刻控制量的值；e(k)为第k次采样时刻的偏差值；Kp、K卜KD分别为比例、积分和微分系数。由位置式PID控制算法可导出增量式PID控制算法如下：au(k)=K|P△e(七)+K，P(后)+KD(△P(七)一ae(k一1))⋯⋯⋯⋯(5-1)其中：Au(k)=“(J|})一u(k—1)，Ae(k)=P(七)一e(k—1)。PID控制是最早发展起来的控制策略之一，由于其算法简单、鲁棒性好和可靠性高，被广泛应用于工业过程控制，尤其适用于可建立精确数学模型的确定性控制系统．PID控制在实际控制工程中应用最广，据不完全统计，在工业过程控制、航空航天控制等领域中，PID控制的应用占了80％以上。由于PID控制的简单与应用效果，人们仍在不断研究PID控制器的各种设计方法(包括各种自适应调参、最优化方法)和未来潜力。近些年来，一类新型的控制器如预测控制、无模型控制等算法相继提出，我们的目的是找出这类新型算法与经典的PID控制算法之间的关联。另外为了满足不同控制系统的需要，在PID基本形式的基础上提出了一系列的改进算法：积分分离PID控制算法、不完全微分PID控制算法、微分先行PID控制算法和带死区的PID控制算法等，这里不在赘述。 北京化工大学学位论文5．2预测控制与PlD控制的关系首先考虑一阶线性定常系统，现有的应用和理论研究表明，对一阶系统，PID控制器的形式为比例积分(PI)型。下面从预测控制的角度验证这一结论，给出增量式PI控制器的推导。设所考虑的一阶线性定常系统为：y(k+1)=ay(k)+bu(k)+孝(七)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5-2)其中y(k)，u(k)分别为系统的输出和输入，孝(七)是扰动，为保证系统的可控型，设b≠0。考虑系统(5．2)的增量形式，消除常值干扰，得增量方程：△沙(七+1)=aay(k)+bAu(k)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5—3)以式(5．3)作为预测模型，在k时刻，已知系统的输出测量值y(k)和上一时刻的输入值u(k一1)，k+1时刻系统的一步输出预测值夕(后+1)为：夕(七+1)=J，(后)+口△少(后)+bAu(k)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5_4)考虑一步预测，为使系统下一时刻的输出预测值尽可能接近事先给定的设定值r，考虑下面的优化问题：勰，(七)=(夕(七+1)一，．)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯··(5-5)易见最优控制增量为：6u(k)：一兰△少(七)+{(，．一y(七))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5．6)类似PID控制，令偏差量e(k)=r-y(k)，则ay(k)=，．一e(k)一，+P(七一1)，进而得到Ay(k)=叫(七)+P(七一1)，所以最优控制增量为：△“(七)=ia(e(七)叫七一1))+i1e(七)=詈血(七)+i1P(七)⋯⋯．．(5-7)oDo比较(5一1)可见，式(5．7)就是增量式PI控制器Au(k)=KPAe(k)+K，P(七)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5-8)由推导过程不难看出，不论系数a’b取何值，只要b≠0g控制器参数KP=孚，K，=÷，则将此PI控制器作用至系统，系统下一时刻的输出y(k+1)为设定值r。上面的PI控制器虽然可以得到稳定的控制，但在控制过程中，往往不希望控制增量Au(k)的变化过于剧烈，这一因素可在优化性能指标中加入加权项A予以考虑，因此k时刻的优化性能指标可取为： 第五章多变量预测控制与PID的联系ra血(i^n)歹(忌)=(夕(是+1)一，．)2+2【△材(女)】2⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5-9)其中名>0是权系数，可求得此时的最优解为：州驴苁姒卅南料⋯⋯⋯．．(5．10)可见此时仍是增量PI控制器的形式，选取适当的权系数2就可以得到动态性能较好且稳定的PI控制器。由此可见在预测控制中选取参数的过程就是调整PI控制器参数的过程，在预测控制中选取不同的参数五，可得出不同系数的PI控制器。更一般地，考虑预测时域为P，控制时域为M时的预测控制算法，P>M．此时令Au(k+M+1)=Au(k+膨+2)=⋯=Au(k+N)=0，则对i=l，,---N，预测值为：夕(足+f)=y(后)+(∑口7)缈(后)+∑∑口’bAu(k+i-1一，)⋯⋯⋯(5·11)考虑下面的性能指标4勰m)2善吼一(¨埘2+善咖(¨⋯⋯⋯6。2’其中Nl为优化的初始时域，q，>0，／=1,2，⋯，N，_≥0，，=1,29··Q9M为权系数，通过引入E=【l，1⋯，1】r，权矩阵Q=diagⅣl，gⅣ2，⋯，qⅣ}>o，R=击昭乜，r2，⋯，rM)≥0。矿(足)=【y(七十Ⅳ1)r，y(七+N。，1"，⋯，y(足+Ⅳ)r】rAU(k)=【△“(七)r，△“(七+1)r，⋯，△“(七+膨)r】r将预测方程和性能指标写成向量的形式：P(七)=毋(七)+ctAy(k)+BAU(k)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5—13)Am。，i(n。)J(k)=』Er。-Ey(k)-‘aAy(k)--BAU(k)IJ：!+Ilau{k)ll'．．．．······(5·14)其中口和B分别为相应维数的向量和矩阵，可得其最优解为：Au(k)=(B7’Q8+R)一1B7’QCEe(k)+晓△2(露))⋯⋯⋯⋯⋯(5-15)令d=【l，O，⋯，O】(曰rQB+R)_BrQ=【吐，d2，⋯，dM_研+l】，则作用在系统上的解：Au(k)=(∑d，)P(七)+(∑d，口』)缸(青)⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5-16)71 北京化工火学学位论文易见上面的解仍为增量式PI控制器的形式，其中：|Ⅳ一Ⅳ．+IJⅣ一JⅣI+lKP=∑d』甜／，K，=∑d∥⋯⋯⋯⋯⋯(5—17)卢I选择不同的预测时域和权矩阵可以得到满足不同要求的PI控制器参数值，给出用预测控制方法确定PI控制参数的一种方法。在k时刻将求得的控制量u(k)=u(k—1)+2Xu(k)作用至系统上，相当于在对象输入端加上了一个幅值为Au(k)的阶跃，得下一步的输出量y(k+1)，与模型输出比较，利用预测控制的原理对系统进行在线辨识与反馈校正，即对系统参数不断通过实际输入输出信息在线估计，并以此修正控制器中P．I两项的系数，通过在线反馈修正给出适当的控制器参数。从上面的分析不难看出PI控制器的系数与预测控制中参数的关系，这样我们可以根据现有的预测控制的稳定性结论(L-t；方说带终端约束的预测控制等方法)来构造满足闭环系统收敛且性能较好的PI控制器的系数。下面简单分析一下在增量PI控制器Au(k)=KPAe(k)+K，P(尼)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5—18)作用下，系统收敛到设定值：的条件。将上述输入值代入系统的增量方程(5．3)得系统真实的输出改变量为：△少(七+1)=aay(k)+6K，△d七)+bK，P(七)进而有：y(k+1)一y(七)=口(y(七)一y(k一1))+bK，△e(后)+bK，P(七)所以：e(k+1)=(1+口一6KP—bK，)P(七)-(a—bKP)P(七一1)⋯⋯⋯(5-19)易见e(1【)收敛到零的充要条件为矩阵：r01丑2L般P一口l+口一ⅨP一懈，J的特征值在单位圆盘内，即以最)