第一章典型的数学物理方程的导出

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1、第一章典型的数学物理方程的导出1.1弦振动方程与定解条件1.2热传导方程与定解条件1.3拉普拉斯方程与定解条件1.4基本概念与基本知识1.5＊二阶线性偏微分方程的分类1数学模型建立的基本步骤0.根据已知信息，抓住问题的本质特征，忽略次要因素，作出合理假设1.从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用2.研究物理量遵循哪些物理规律3.按物理定律写出数理方程11.1   弦振动方程与定解条件弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔等人首先给予系统研究的。它是一大类偏微分方程的典型代表。一、下面先从物理问题出发来导出弦振动方程。给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔软的弦，其长度为

2、L。在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。3将实际问题归结为数学模型时，必须作一些理想化的假设，以便抓住问题的最本质的特征。在考察弦振动问题时的基本假设为：1.弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略，弦的线密度ρ是常数。2.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hooke）定律。（即指在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比）43.弦在某一平面内作微小横振动即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。（“微小”

3、是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小）我们将在上述假定下来导出弦振动方程。先讨论振动过程中不受外力作用时弦振动的情形。5为此，选择坐标系如下uxOl弦的平衡位置为x轴，两端分别固定在x=0和x=l处.u(x,t)表示弦上横坐标为x的点在时刻t时沿垂直于x轴方向的位移。6为了求弦上任意一点的运动规律，必须对弦上任取一小弦弧MM进行考察。12uM2M1xOx1x2l我们首先证明张力为常数（即与位置与时间无关）。假设小弦弧MM的弧长为Δs,127uM2M1xOx1x2l利用弧长公式可知：x22∂uΔs=1+udx,u=.∫xxx1∂x2由假定，弦只作微小振动，ux与1相比可

4、以忽略不计，从而Δs≈x−x.218uM2M1xOx1x2l这样我们可以认为这段弦在振动过程中并未伸长，因此由胡克定律知道，弦上每一点所受的张力在运动过程中保持不变，即张力与时间无关。接下来,我们只须说明张力与位置x无关9uT2αM22Mα11T1xOx1x2l我们分别把在点M1,M2处的张力记作T1,T2,由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点M,M处的切线方向。12由假定，弦只作横向振动，因此张力在x轴方向分量的代数和为零，即有10uT2αM22Mα11T1xOx1x2lTcosα−Tcosα=0.2211由于小振动：α→0,α→0,cosα→1,cosα→1.1212于是

5、上式可以写成T1=T2.这就是说，张力也不随地点而异，综上所述，张力是常数，以下记作T011uT0αM22Mα11T0xOx1x2l现在来导出弦的横振动方程.张力在u轴方向分量的代数和为Tsinα−Tsinα=T(sinα−sinα).0201021由于小振动：∂u∂usinα≈tanα=

6、sinα≈tanα=

7、22x2,11x1,∂x∂x12uT0αM22M1α1T0xOx1x2l应用微分中值定理：2∂u∂u∂uT[

8、−

9、]=T

10、(x−x)(x<ξ

11、点2η处的加速度∂u代替，

12、2η∂t13uT0αM22M1α1T0xOx1x2l于是该小段弦的质量与加速度的乘积为2∂uρ(x−x)

13、(x<η

14、(x−x)=T

15、(x−x).2η2102ξ21∂t∂x消去x2−x1,并令x2→x1,14uT0αM22M1α1T0xOx1x2l上式化为22∂u2∂u2T0=a,其中a=.22∂t∂xρ这个方程称为弦的自由横振动方程。15uT0αM22M1α1T0xOx1x2l若还有外力作用到弦上，其方向垂直于x轴，设其力密度为F(x,t),由于弦段(x1,x2)很小，其

16、上各点处的外力近似相等，因此作用在该段上的外力近似地等于F(ζ,t)(x−x)(x<ζ

17、(x−x)=T

18、(x−x)+F(ζ,t)(x−x).2η2102ξ2121∂t∂x消去x−x,并令x→x,则得弦的强迫横振动方程212122∂u2∂u2T0F(x,t)=a+f(x,t),其中a=,f(x,t)=.22∂t∂xρρ17弦振动方程中只含有两个自变量x和t,其中t表示时间，x表示位置。由于它们描述的是弦的振动