强代数偏序集

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1、第２９卷第１期模糊系统与数学Ｖｏｌ．２９，Ｎｏ．１２０１５年２月ＦｕｚｚｙＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＦｅｂ．，２０１５文章编号：１００１－７４０２（２０１５）０１－００１０－０５＊强代数偏序集石小妹，徐晓泉（江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌３３００２２）摘要：引入了一种新的强代数偏序集的概念，证明了偏序集Ｐ为强代数的当且仅当其正规完备化δ（Ｐ）为强代数格，给出了强代数偏序集的内蕴式刻画。关键词：强代数偏序集；正规完备化；强正则关系中图分类号：Ｏ１５３文献标识码：Ａ１引言［１，２］无论是从数学的角度还是从计算

2、机科学的角度，Ｄｏｍａｉｎ理论都引起了广泛的关注。为扩展［３－５］ｄｏｍａｉｎ的理论框架和应用范围，连续ｄｏｍａｉｎ的概念被推广至了更一般的偏序集情形。在文［６］［７］［８］中，Ｅｒｎé注意到ｄｏｍａｉｎ的连续性在正规完备化下不保持。为此，Ｅｒｎé基于Ｆｒｉｎｋ理想引入了预连续偏序集（ｐｒｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｐｏｓｅｔ）概念，证明了偏序集为预连续的当且仅当其正规完备化为连续格。作为完全分配格和代数格的共同推广，文［９］引入了强代数格的概念，并讨论了其基本性质。其后，［１０－１２］不少学者对强代数格进行了研究。文［１３］按通常方式

3、将强代数格推广至了一般偏序集，但这种方式依Ｅｒｎé文［６］的意义不是“好”的推广，即其在正规完备化下不保持。在本文中，我们用一种新的方式将强代数性推广至一般偏序集情形，引入了强代数偏序集的概念，给出了它的若干刻画（包括内蕴式刻画），特别地，证明了偏序集Ｐ为强代数的当且仅当其正规完备化δ（Ｐ）为强代数格。因而，依Ｅｒｎé文［６］的意义，我们的推广是一种“好”的推广。２强代数偏序集设Ｐ为偏序集。ｘ∈Ｐ，ＡＰ，令↑ｘ＝｛ｙ∈Ｐ：ｘ≤ｙ｝，↑Ａ＝∪↑ａ；对偶地定义↓ｘ和↓Ａ．ａ∈Ａ令Ｄｏｗｎ（Ｐ）＝｛ＡＰ：Ａ＝↓Ａ｝。令Ａ↑和Ａ↓分

4、别为Ａ的全体上界和全体下界。记Ａδ↑）↓＝（Ａ．称δ（Ｐ）＝｛Ａδ：ＡＰ｝（赋予集包含关系）为Ｐ的正规（或Ｄｅｄｅｋｉｎｄ－ＭａｃＮｅｉｌｌｅ）完备化［６－７］。本文涉及的记号与术语可参见文［２］。［２］定义２．１设Ｐ，Ｑ为偏序集，ｆ：Ｐ→Ｑ，ｇ：Ｑ→Ｐ．映射对（ｆ，ｇ）称为是Ｐ与Ｑ之间的一个ａｄ－ｊｕｎｃｔｉｏｎ或Ｇａｌｏｉｓ联络，若ｆ与ｇ都是保序的，且（ｐ，ｑ）∈Ｐ×Ｑ，ｆ（ｐ）≥ｑｐ≥ｇ（ｑ）。此时ｆ称为是上伴随，ｇ称为是下伴随。＊收稿日期：２０１３－１２－０８；修订日期：２０１４－０３－２５基金项目：国家自然科学基金

5、资助项目（１０８６１００７；１１１６１０２３）；全国优秀博士学位论文作者专项资金资助项目（２００７Ｂ１４）；“赣鄱英才５５５工程”领军人才培养计划项目；江西省自然科学基金资助项目（２０１１４ＢＡＢ２０１００８）；江西教育厅科技基金资助项目（ＧＪＪ１２６５７）作者简介：石小妹（１９８９－），女，江西师范大学数学与信息科学学院研究生，研究方向：格上拓扑学，Ｄｏｍａｉｎ理论；徐晓泉（通讯作者）（１９６１－），男，江西乐平人，江西师范大学数学与信息科学学院教授，博士生导师，研究方向：拓扑学，格序结构，Ｄｏｍａｉｎ理论。第１期石小妹，徐晓泉

6、：强代数偏序集１１设Ｘ，Ｙ是两个集，称ρ为Ｘ与Ｙ之间的一个二元关系，若ρＸ×Ｙ．当Ｘ＝Ｙ时，简称ρ为Ｘ上的一个二元关系。为简便起见，用ρ：ＸＹ表示Ｘ与Ｙ之间的一个二元关系。令ρ：ＸＹ及τ：ＹＺ，－１τρ＝｛（ｘ，ｚ）∈Ｘ×Ｚ：ｙ∈Ｙ使（ｘ，ｙ）∈ρ和（ｙ，ｚ）∈τ｝称为ρ与τ的复合。ρ＝｛（ｙ，ｘ）∈Ｙ×Ｘ：（ｘ，ｙ）∈ρ｝称为ρ的逆。［１１］－１定义２．２关系ρ：ＸＹ称为是强正则的，若δρＹ×Ｘ使ρ＝ρδρ．［７］引理２．１设Ｐ为偏序集，Ｌ＝δ（Ｐ）。（１）映射（－）↑：（２Ｐ）ｏｐＰ，Ａ｜→Ａ↑和（－）

7、↓：２ＰＰ）ｏｐ，Ａ｜→Ａ↓都是保序的。→２→（２（２）（（－）↑，（－）↓）是（２Ｐ）ｏｐ和２Ｐ之间的一对Ｇａｌｏｉｓｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ，即Ａ，ＢＰ，Ｂ↑ＡＢ↓ＰＰ，Ａ｜→Ａδ↑）↓和δ＊：２ＰＰ，Ａ｜→（Ａ↓）↑都为闭算子。Ａ．因此δ：２→２＝（Ａ→２（３）｛Ｃ：ｊ∈Ｊ｝２Ｐ，（∪）↑↑，（∪）↓↓ｊＣｊ＝∩ＣｊＣｊ＝∩Ｃｊ．ｊ∈Ｊｊ∈Ｊｊ∈Ｊｊ∈Ｊ（４）｛Ａδ：ｉ∈Ｉ｝Ｌ，∧｛Ａδ：ｉ∈Ｉ｝＝∩｛Ａδ：ｉ∈Ｉ｝，∨｛Ａδ：ｉ∈Ｉ｝＝（∪｛Ａδ：ｉ∈Ｉ｝）δδｉｉｉｉｉ＝（∪Ａｉ）．ＬＬｉ∈Ｉ［１３］定义２

8、．３设Ｐ为偏序集。（１）定义Ｐ上一个二元关系如下：ｘ，ｙ∈Ｐ，ｘｙＡＰ，若∨Ａ存在，则ｙ≤∨Ａｘ∈↓Ａ．记ＳＫ（Ｐ）＝｛ｘ∈Ｐ：ｘｘ｝。（２）称Ｐ为Ｓ－代数的，若ｘ∈Ｐ，ｘ＝∨（↓ｘ∩ＳＫ（Ｐ））。下面的例子表明按通常方式定义的Ｓ