导数运用新解读

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2005年第17期数学通讯15导数运用新解读孙建明(无锡市堰桥中学，江苏214174)中囱分类号：G633．66文献标识码：A文章编号：0488—7395(2o05)17—0015—03导数是研究函数的单词性、极值、最值、值域以速度”为常数，则反映在曲线上就是S(t)为常数，及函数图象的强有力工具．作为高中数学的新增内即t∈[1，2]时，曲线在点(t，(f))处的切线的斜率容之一，高考对导数的考查不会仅仅停留在这些单为一常数(直线型)．根据上1一的、传统的模式上．同时，作为与高

2、等数学联系的述图形特征，故选(C)．纽带，导数的运用必将成为新教材高考试题的热点例2(1998年全国高和命题的新增长点．本文拟从以下几个方面解读导考试题)向高为H的水瓶．数的新的应用．注水，注满为止，如果注水量DHx1导数与函数的图象与水深H的函数关系的图导数的背景一般有瞬时速度、边际成本和函数象如图2所示，那么水瓶的图象在某一点处的切线的斜率这三种，但如果描绘形状是()图2例2图出函数关于自变量的图象，那么导数厂()的实质为：／(X)即曲线Y：X)在点(，厂(X))处的曲线切线的斜率．利用这一实质可以很快解决一类函数图象问

3、题．目目目目例1如图1，直角梯(A)(B)(C)(D)形Q惦C中，AB／／OC，AB解解法同例1，选(B)．=1，0c=BC=2．直线：2导数与方程的根=1截此梯形所得位于左新教材新增导数内容以后，为师生研究高次函方图形面积为S，则函数S=S(t)的大致图象为数的单调性、极值、最值以及高次方程的根的情况()图1例l图注入了新的活力．一例3(2004年2月南通一模试题)方程3—6x+9x一10=0的实根个数是()(A)3．(B)2．(C)1．(D)0．解设f()=。一6x+95—10，则．厂()：3x一12x+9，易知f(5)

4、的极大值为厂(1)=一6，极小值为f(3)：一10．因为极大值、极小值同(A)(B)(C)(D)号，故曲线Y：厂()和5轴只有一个交点，故厂()解易知S(t)为曲线在点(t，(t))处的切=0的实根个数是1．选(C)．线斜率，t相当于“时间”，S相当“路程”，S(t)相例4(2005年1月江苏省天一中学月考试当于“瞬时速度”，直线在从t=0处运动至t：1题)若方程—3az+2=0(口>0)有三个不同处的过程中，“瞬时速度”越来越大，则反映在曲线的实根，则a的取值范围是．上就是S(z)越来越大，即f∈[0，1]时，t越来越——

5、略解f(5)=0—3ax+2，则厂(z)：3x一大，曲线在点(￡，s(￡))处的切线斜率越来越大；3．由／(z)：0得=±，易知当5=±时，再从￡=1处运动至￡=2处的过程中，“瞬时收稿日期：2005—04—25作者简介：孙建明(1966一)，男，江苏省无锡人，江苏无锡市堰桥中学一级教师维普资讯http://www.cqvip.com16数学通讯2005年第l7期，(z)有极值．因为f(x)=0有三个不同实根，则所以g(罐(0，]上递减，在1]上递厂()·厂(一)<0．解得a>1．增．侈45已知：，(z)=一+z。+4x，厂

6、(z)+优=0在[一1，2]上有实根，求实数的取值范当zE(o．1]时'g(雩)一学，且围．g(0)=g(1)=0，解易知，只需求Y=f(x)，z∈[一1，2]时的_一值域．．．≤g(z)≤0_／(z)=一2x+2x+4=一2(x一2)(z+1)，当0

7、本不等=<1．式和不等式的基本性质进行证明，但有时技巧性很例8已知∈(1，)时，不等式z一3x≥强，增加了问题解决的难度．如果能凭借导数这个z一16总成立，求证：l≤9．先进工具，将不等式的证明转化为求函数的最值或值域问题，那么不等式的证明就会变得简单明了．证由条件知优≤z+一3对于z∈(1，例6(2OO5年1月南京一模试题)已知函数)总成立，设，(z)=X2+一3,x∈(1，)，则厂(z)(z>0)-／(z)=2x一16x_‘．由／(z)≥0得z≥2，知1)探讨函数厂(z)的单调性；．f(x)在(1，2]上单调递减，在[2

8、，)上单调递增，2)已知zl／>1，z2≥1，证明：ff(x1)一f(x2)I<1所以√r(z)在(1，)上的最小值为／(2)=9，故≤9．1)，2)合解易知f(x)=——}一，设g(x)4导数与解析几何z++1Z传统的解析几何中涉及切线的问题，常规的处=z+{，贝0g(z)：1一一．由g