均值已知的条件下方差的统计推断ξ

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1、第25卷第3期数学理论与应用Vol.25No.32005年9月Sep.2005MATHEMATICALTHEORYANDAPPLICATIONSX均值已知的条件下方差的统计推断张圣梅杨桂元(安徽财经大统计与应用数学学院,蚌埠233401)2摘要充分利用总体的信息,讨论了正态总体均值L已知的条件下,方差R的统计推断问题.关键词统计推断统计量区间估计假设检验TheStatisticalInferenceofVarianceintheCaseofKnownMeanZhangShengmeiYangGuiy

2、uan(SchoolofStatisticsandAppliedMathematicsofAnhuiUniversityFinanceandEconomics,Bengbu,233401)AbstractTheinformationrelatedtothepopulatin,howevershouldbemadefurtheruseofinthisthesis,2someaspectsarediscussedconoerningthemakingofthestatisticsinferenceofv

3、arianceRintheocceasionthatthemeanLofnormaldistributionisknown.Keywordsstatisticalinferencestatisticestimatebyaintervalhypothesistesting1总体均值与方差的点估计2对于总体随机变量X,如果其数学期望E(X)=L,方差Var(X)=R.22从总体X中抽取样本X1,X2,⋯,Xn,在总体均值L、方差R均未知的条件下,L,R的无偏估计量分别为样本均值和样本方差(修正),即:∧

4、n∧n{21{2L=X∑Xi,R=S=∑(Xi-X)i=1n-1i=12然而,在总体均值L已知的条件下,不需要对总体的均值进行估计,而且R的无偏估计量∧n212应为:R=S0=∑(Xi-L)ni=1笔者认为,在统计推断中应遵循的原则是:当总体的参数未知时,我们应该想法用样本的函数(统计量)来估计总体的参数;而当总体的某些参数已知时,应该设法利用它,因为它所提供的是总体的信息.当我们对总体的参数进行估计时,利用总体的有关信息当然比利用样本的信息更可靠.X李柏年教授推荐收稿日期:2005年3月17日第3

5、期均值已知的条件下方差的统计推断992正态总体参数估计量的分布2{2设总体X服从正态分布,即X～N(L,R).X1,X2,⋯,Xn来自总体X的样本,X,S分别为样本均值与样本方差,则2{RX～NL,(1)nn{22∑(Xi-X)(n-1)Si=122=2～V(n-1)(2)RRn2(Xi-L)2∑nS0i=122=2～V(n)(3)RR{2并且X与S相互独立.2在对正态总体的方差R进行统计推断的过程中,大多数教材只讨论在总体均值未知的条件下对总体方差(单总体、两总体)的统计推断问题,而总体均值已知的

6、条件下对总体方差(单总体、两总体)的统计推断问题没有提到,使得学生在学习这部分内容时感到很不理解.在正态总体参数的统计推断中,既然允许在总体方差已知和未知两条件下分别讨论对总体均值进行统计推断,那么为什么不讨论在总体均值已知和未知两种场合下对总体方差的统计推断呢?这个问题一直未能引起数理统计学教学的重视.本文就专门对这个问题展开讨论.3正态总体均值已知的条件下方差的置信区间22311正态总体N(L,R),当L已知的条件下,R的1-A置信区间∧22122先考虑R的无偏估计量S0=L(Xi-L),由于要

7、对R进行区间估计,根据(3)式,nn2(Xi-L)2∑nS0i=122=2～V(n),RR2那么对于给定的A(0

8、的条件下,求2的1-A置信区间.R2nn221212R1,R2的无偏估计量分别为∑(Xi-L),∑(yj-L2),根据(3)式,ni=1mi=1nn22∑(Xi-L)∑(yj-L2)i=12i=122～V(n),2～V(m),且这两个随机变量相互R1R2100数学理论与应用第25卷独立.那么,n2∑(Xi-L)ni=12m(Xi-L)2∑2nR1i=1R2m=mõ2～F(n,m),R122∑(yj-L2)n∑(yj-L2)j=1j=12mR2因此n2m(Xi-L)∑2