异方差下多个正态总体共同均值的参数bootstrap推断

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1、异方差下多个正态总体共同均值的参数bootstrap推断徐礼文1,2，王登魁2(1中国人民大学统计学院，北京100872；2北方工业大学理学院，北京100144)基金项目：国家自然科学基金项目(11171002)；北京市属高等学校高层次人才引进与培养计划项目(CIT&TCD201404002)；北京市自然科学基金项目(9144026)作者简介：徐礼文(1977-)，男，安徽人，博士，副教授，研究方向：复杂数据分析。王登魁(1992-)，男，山西人，硕士研究生，研究方向：重抽样方法及其应用。摘要：文章使用参数bootstrap(PB)方法考虑了当方差未知且可以不相等时

2、多个正态总体共同均值的假设检验和置信区间构造问题。文献中的推断方法不能在各种样本容量和参数设置下都保证假设检验的第一类错误概率和置信区间的覆盖率。本文基于共同均值一个著名估计，提出了一种参数bootstrap统计推断方法，并借助MonteCarlo方法与经典的近似解法和广义推断方法进行了比较。随机模拟结果表明，就第一类错误概率和覆盖率而言，参数bootstrap推断方法表现更好。参数bootstrap方法不仅具有满意的第一类错误概率和覆盖率，而且具有良好的检验功效和置信区间平均长度表现。关键词：Bootstrap重抽样；异方差性；广义推断；参数bootstrap枢轴

3、量中图分类号：O212文献标识码：A0引言异方差情形下的共同均值μ的推断问题在许多应用领域常常碰到。例如，对同一个目标使用几种“工具”获得测量数据的测量误差问题和涉及单个因子的试验设计问题等[1]。如果这些总体的方差假设相等，那么存在共同均值μ的统计推断的最优解。但是，当方差未知且不相等时，共同均值μ的任何组合估计的分布包含总体方差。这使得标准的方法在构造精确的置信区间时有严重的不足。因此，该问题已吸引了众多的关注，并且产生了一些有用的解[2-5]。文献[3,6-9]基于著名的Graybill-deal估计[10]提供了μ的近似置信区间，这里分别是第i个总体的样本均

4、值和样本方差，i=1,2，…，k。文献[11,12]分别基于t统计量的和F统计量的逆加权线性组合提供了μ的精确置信区间。Krishnamoorthy和Lu[13]则考虑了广义枢轴量的逆加权线性组合方法，其和Lin和Lee[14]的思想类似，即他们都使用了广义推断的概念，只是使用了不同的广义枢轴量。但是这些方法通常都只能在某些情况下表现良好，不能在各种样本容量和参数设置下提供稳定的解答。11本文目标是提供共同均值问题新的参数bootstrap(parametricbootstrap,PB)推断方法。PB方法因为其灵活有效的特点已经被广泛应用于许多复杂数据分析中[15-

5、18]。选择合适的枢轴量是PB方法成功的关键，本文对著名的点估计进行加工，构造出PB枢轴变量，提供了新的参数bootstrap方法来推断共同均值，为减少已有推断方法易受异方差性的影响，从而提供稳定有效的检验和置信区间。本文以下内容安排是：第1节提供了我们关于共同均值问题的PB推断方法，并简要介绍了广义推断方法和经典的近似解。第2节使用MonteCarlo方法，研究了一个近似解、广义推断和PB推断各种方法精度上的表现。第3节给出了结果与讨论。1共同均值的推断设是来自正态总体的简单随机样本，表示它们的观测值，。本节将基于PB枢轴量提供k个总体共同均值μ的PB推断方法，并

6、且简要描述Lin和Lee[14]中的广义推断方法和经典的近似解。上述k个总体对应的样本均值和样本方差及其分布分别为：，，(1)且它们之间都是相互独立的，令分别表示它们的观测值，。我们将利用充分统计量去构造共同均值μ的置信区间和假设检验。如果已知，共同均值μ的广义最小二乘(GLS)估计是,(2)且，其也是μ的最佳线性无偏(BLU)估计。那么一个自然的枢轴量是：。(3)用表示的观测值，则是的一个置信水平为的精确置信区间，其中表示标准正态分布的下侧1-分位数点。11一般是未知的，此时用样本方差代替总体方差，得到枢轴量:,(4)这里是引言中提及的著名Graybill-dea

7、l估计。但是的精确分布无法得知，接下来将提供我们的PB推断、Lin和Lee[14]的广义推断方法和经典近似解。1.1PB解参数bootstrap方法主要思想是从估计的参数模型中产生bootstrap数据或统计量。注意到(1)式，参数bootstrap枢轴量构造步骤如下：对于观测到的，令和，这里是的观测值。那么基于枢轴量(4)的PB枢轴量为：，(5)这里。注意到对于给定的，(5)式中的分布是不依赖于任何的未知参数，可以基于PB枢轴量构造共同均值的PB置信区间。具体地，令表示的下侧分位数，那么的一个置信水平近似为的PB置信区间为：。(6)接下来，考虑共同均值的假设检