具有平凡零化子的代数分解的唯一性

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1、第2卷第1期2007年1月中国科技论文在线SCIENCEPAPERONLINE25具有平凡零化子的代数分解的唯一性1*2白承铭,孟道骥(1.天津南开大学陈省身数学研究所&LMPC,天津300071;2.天津南开大学数学系&LMPC,天津300071)摘要:我们证明任何一个具有平凡零化子的有限维代数能够分解为不可分解的理想直和,并且在不考虑理想次序的意义下分解是唯一的。关键词:代数;零化子;不可分解理想;A-同态中图分类号:R54文献标识码:A文章编号:1673-7180(2007)01-0025-40引言Ai

2、=Bi,i=1,2,…,n.(5)[1,2,3,4]众所周知,许多代数,例如半单代数和上述结论非常类似于群论中著名的[5][6]有单位元的代数等都可以分解为不可分解的理Krull-Schmidt定理,我们需要指出的是在想直和并且在不考虑理想次序的意义下分解是唯Krull-Schmidt定理中,分解唯一性是在同构意义一的。当然这个性质并不是对所有代数都成立(见下,而我们上述定理阐述的唯一性是在“相等”本节最后部分的讨论)。在本文中我们对任何数域意义下,显然要更强些。上具有这种性质的有限维(结合或者非结合)代下面

3、标准的结果是该定理的一些特例:数给出一个充分条件。推论1每一个有限维半单结合代数同构于令A为一个数域F上的代数。A的零化子定单结合代数的直和,并且分解在不考虑单代数(理[2]义为想)的次序意义下是唯一的。[4](1)推论2设A是一个有限维非结合代数使得显然地,Ann(A)是A的一个理想。(6)定义1令A为一个有限维代数。如果A可其中Ai和Bj是A的理想并且作为代数是单的。以分解为两个非平凡理想的直和,则A被称为可于是m=n并且对于任何Ai,存在Bj(i)使得Ai=Bj(i)。分解的,否则称A为不可分解的。推论

4、3一个有单位元的代数可以分解为不显然地,任何有限维代数都可以分解为不可可分解的理想的直和并且在不考虑理想次序的意[5]分解的理想直和。义下分解是唯一的。本文的主要结论如下:如果A的零化子不是零,上述定理未必成立。定理设A为一个有限维代数并且Ann(A)一个简单的反例就是维数大于或者等于1的平凡=0。令代数A本身。(2)在这种情形下,A完全由线性空间的结构所决定和并且A可以分解为1维平凡代数的直和。但是,(3)由于任何线性空间的基不是唯一的,因此A的分为A的两个不可分解理想直和的分解。于是解即使在考虑1维平凡代

5、数的次序意义下也不可具有平凡零化子的代数分解的m=n,(4)能是唯一的。并且经过必要的次序调整,我们可以得到1定理的证明基金项目:国家自然科学基金(10571091),973计划(2006CB805905)和教育部新世纪优秀人才支持计划资助项目*通讯联系人:E-mail:baicm@nankai.edu.cn第2卷第1期262007年1月本节中所有代数都是有限维的。因此定义2一个代数A上的线性变换如果满足并且所以我(7)们得到则称为代数A的A-同态。所有A-同态的集合记为EndA(A)。如果,则存在使得例设A

6、=A1+A2,(8)于是为代数A分解为两个理想的直和,并且π为A到A1上的投射。于是π是代数A的一个A-同态。实际上,因此我们有,由引理1中的结论1),我们知道是A的A-同态,于是再由引理1中的结论3)可知和引理1设A为一个代数。于是都是A的理想。这样就证明了结论1)。1)EndA(A)是一个结合代数。2)如果A是不可分解的,则由1),2)如果并且是可逆的,则或者。前者意味,后者意味是。双射,或者等价地,是双射。3)对任何,Ker和Im都是A引理3设A为一个不可分解的代数。令的理想。为A的A-同态满足证明1)

7、,我们有(11)同理。因此。类于是存在指标i使得是双射。似地,和都是A的A-同态。显证明我们对于n归纳来证明这个引理。然地,并且EndA(A)是结合的。于是如果n=1,结论是平凡的。1)成立。对于n=2,因为所以我们有2),我们有,于是。如果都不是双射,则由于A是不可分解的,同理.因此。因此由引理2知道存在使得3),我们有。选取,于是因此是A的一个理想。另一方面,我们有得到矛盾!因此或者是双射。对于n>2,令。于是都是A因此也是A的一个理想。的A-同态,并且。于是由上面讨论引理2设A是一个代数并且是A的A-同

8、态。于是存在使得得到或者是双射。如果是双射,引理得1)A有一个理想的直和分解证。如果是双射,则由引理1中的结论1)和(9)2),我们得到是A的2)进一步,如果A是不可分解的,则我们有A-同态并且。由归纳假设,存在指标i或者是双射。(10)使得是双射。于是是双射。证明1)令的极小多项式为引理4设A为一个具有分解(8)的代数于是存在多项式使得如果A’是A的一个子代数并且,则A’第2卷第1期2007年1月

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