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1、第37卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2012年4月Vol.37No.4JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Apr.2012文章编号:10005471(2012)04005003关于平面卵形区域的等周亏格上界估计的注记①戴勇黔南民族师范学院数学系,贵州都匀558000摘要:利用平面卵形线的Gage’s定理及著名的等周不等式,给出欧氏平面R2中卵形区域的等周亏格的几个上界估计.关键词:等周不等式;等周亏格;曲率;
2、卵形区域中图分类号:O186.5文献标志码:A众所周知:平面上固定长度的简单闭曲线中,圆所围成的面积最大.即平面简单闭曲线Γ所围成区域的面积A与其周长L满足2L-4πA≥0当且仅当Γ为圆时等号成立.平面曲线Γ的重要几何量除了它的周长、所围成区域的面积外,还有它的曲率κ.κ>0的平面简单闭曲线称为卵形线,由卵形线围成的平面区域称为卵形区域.一般地,设R2中闭区域K的面积为A,췍K的长度为L,我们定义2Δ(K)=L-4πA为闭区域K的等周亏格.等周亏格可以用来刻画周长为L、面积为A的闭区域与圆盘的差别程度.
3、最经典的闭区域的等周亏格的上界估计应该是以下两个不等式(参见文献[1-5]):1933年,Bottema得到的不等式:设K为R2上的卵形区域,其曲率半径为ρ=1,κ为췍K的曲率,并κ设ρM=max{ρ},ρm=min{ρ},则22()2L-4πA≤πρM-ρm等号成立的充分必要条件是ρM=ρm,即K为圆盘.1955年,Pleijel得到一个更好的不等式:2)2L-4πA≤π(4-π)(ρM-ρm等号成立的充分必要条件是ρM=ρm,即K为圆盘.几何不等式是几何学中一个非常重要的分支,很多几何学家用分析法及
4、积分几何的方法研究几何不等[1-5][6-14]式,近几年来利用积分几何的办法,得到了一些新的等周亏格的上下界估计.[15-16]本文根据Gage定理、著名的等周不等式2L-4πA≥0以及文献[10-11]的包含测度思想,得到R2中卵形区域的等周亏格的两个上界估计.定理设Γ为欧氏平面R2中长度为L的卵形线,Γ围成一面积为A的卵形区域K,设s为Γ的弧长①收稿日期:20101201基金项目:黔南民族师范学院科研项目资金(QNSY0906).作者简介:戴勇(1970),男,贵州安顺人,副教授,主要从事凸几何与
5、几何不等式的研究.第4期戴勇:关于平面卵形区域的等周亏格上界估计的注记51参数,则2242Aæ216πöL-4πA≤çκds-÷2∫()2πè췍KLø223æL1öL2-4πA≤4Lπç4-2÷ç16π2÷Aè∫(κds)ø췍K等号成立当且仅当Γ为圆.首先我们有以下引理:[15]2引理设Γ为欧氏平面R中长度为L的卵形线,Γ围成一面积为A的卵形区域K,设s为Γ的弧长参数,则2πL∫κds≥췍KA等号成立当且仅当Γ为圆.定理的证明由引理及著名的等周不等式2L-4πA≥0可得如下不等式:32κ2ds≥πL≥4
6、π≥4π(1)∫췍KAAL由不等式(1)知2æ3ö2222æπLö4π2æ4πöç÷-ç÷≤∫(κds)-ç÷èAøèAø췍kèLø经化简整理,得2242Aæ216πöL-4πA≤çκds-÷2∫()2πè췍KLø又由不等式(1)可得1AAL≤≤3≤22πL4π4π∫κds췍K因此可得2æö222æ1öAæAöæLöç÷-ç÷≤ç÷-ç÷3èπLøè4π2øçκ2ds÷è4πø∫è췍Kø即223æL1öL2-4πA≤4Lπç4-÷Aç16π(κ2ds)2÷è∫췍Kø以上不等式中等号成立当且仅当K为圆盘.
7、证毕!致谢:感谢西南大学数学与统计学院周家足教授的大力支持与帮助.感谢博士生徐文学、曾春娜的讨论和指导.参考文献:[1]BURAGOYD,ZALGALLERVA.GeometricInequalities[M].BerlinHeidelberg:Springer-Verlag,1988.[2]OSSERMANR.Bonnesen-StyleIsoperimetricInequality[J].AmerMathMonthly,1979,86:1-29.[3]RENDe-lin.TopicsinIntegr
8、alGeometry[M].Singapore:WordScientific,1994.[4]ROSA.CompactHypersurfasewithConstantScalarCurvatureandaCongruenceTheorem[J].DiffGeom,1988,27(2):215-220.[5]SANTALOLA.IntegralGeometryandGeometricProbabiliy[M].London:Addison-W
