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1、DOI:10.15884/j.cnki.issn.1007-0672.1982.04.011也论人口预测的指数函数数学模型刘耀正确地预测人,。口是十分重要的课题国家要根据未来若干年人口的预测去制定各项发,,。,。展计划考虑劳动就业兴办福利设施也要根据人口预测制定有关的人口政策但是人,。口的发展不是盲目的(尤其在今后)人口政策直接影响着未来的人口人口预测的一项任,,务就是探讨在必要的措施下预测未来若干年人口的状况为人口发展计划提供必要的数,。据为计划生育单位提供某些控制指标如何预测人口?余澄杨同志在《西北人口》一九八一年第四期上的《利用指数函数进行,。,人
2、口预测的方法》一文作了这方面的探讨该文有欠妥之处本文也就人口预测的指数函。数模型做进一步的探讨(一)指数函数模型人,。类的繁殖也和其它动物一样有和放射性元素不断地放射出粒子相似的规律放射性元素其原子总,,,数在不断地减小它的放射速率即单位时间放出的粒子数与该元素当时的原。,,。子总数成正比显然人口的增长速率也和当时的人口总数有关如果我们提出这样的假:“”,。设人口变化的速率与当时人口的总数成正比就可以得出人口的指数函数模型t,,,设P()是从基期算起t时刻的人口总数根据上述假定可得出如下形式的一阶微:分方程dP(t)·二rp()t(其中r为比例常数dt:
3、、=,二。初始条件为竹t0时(Po)p(基期人口总数),这是个简单的可分离变量的微分方程满足初始条件的特解为『,P(t)=Poe……(1)r“”,r>rO)乃是假定中成正比的比例常数它反映了人口增长(。)或减少(<的快,“”。慢不妨称它为增长系数,“”。把这个增长系数误认为就是人口的a表示年余澄杨同志的文章年增长率如果用,a·,,r增长率那么p(t+1)一p(t)=p(t)且t仅取正整数值而增长系数满足的是_`、、1卜二,、二,、`d___,、一饰二二_“。.,1_一二、。__一p(t)一“r’”(`*`、“~平均速~度~”和~“~瞬时速度_”的差一别一
4、样。传甘),这二者的差别就如年,。增长率是该年一年的平均增长率而增长系数是瞬时t的增长率1),t根据(第十1年的年增长率应是一一一一’Llm△pr=一,错误8一兰丝竺旦一兰圣兰,余澄杨同志的文章出在第40页第行的式子上P6),6),这个式子是不能由该文的(推出的而(式仅对△t=1时成立(见《西北人口》。1981年四期)当年增a,ra,,a长率很小时增长系数是近似地等于的用数学的语言来说就是当是无,r。a,a相差一个比a尽管实际中年增长率穷小量时与高阶的无穷小量都是比较小的数但当a,ra,,。为正数时用代替预测出来的总人口数略偏大人口翻一番所需的年数略偏小
5、1:1978,0,1,1983例设年末我国人口为9750万年增长率为%试用指数函数模型预测年。末我国的人口数:,a=。,r=nl。。,,解按(3)因001I01=0009951983与基期1978相差5年即t=5按公式(1)预测1983年末我国人口数为0。00995XSP(5)=97500ep(5),利用自然对数表求得二102470万,2,9(余澄杨同志的文章预测为1049万):1980.,1.7,例2设年末世界人口总数为414亿年增长率假设为%问到哪一年世界人口将达到一万亿?:a二。解O017。。则r=Inl017=o02650。0168t,二。e根据
6、公式(1)得100004414。00168t。即e二22655两边,取自然对数利用自然对数表求得t=323年1),.,若按指数函数模型(如果年增长率保持为17%那么到公元2303年世界人口将达。到一万亿,世界,1),会不会再过三百余年人口真的达到一万亿呢?绝对不会按照公式(只要增长系数r,rt+,p(t)+,r,t+,为正(那怕很小)当、O时总有”O对为负时当`co则,。,。p(t),o也即人类归于消灭事实上人类已发展了数百万年了现在也才是四十多亿世,,。界上也没有那一种生物发展到充满地球使其余生物无立足之地的地步可见上述模型并,。不能完全正确地反映实际
7、状况但它对短短几年内的预测可以有一定的参考价值,,当其数量发展,任何生物都需要有一定的生活条件到一定限度时它赖于生活的条件就,,。,不够充足了就必然会放慢增长速度甚至减少下来人类是高等生物他不仅被动地受,,。,生活环境的约束还能够通过直接或间接的人口政策自觉地调整人类本身的繁殖因此,,人口增长系数不应该是个常量它应该随着时间t的变化而变化把它看作时间t的函数应该。更符合实际一些当前我国面临的是人口,必须通过有计划的节制生育,过多的矛盾把人口增长的速率减,,。下来经过数十年的努力把我国人口总数减到一个适当的数字根据近年抓计划生育的实践和国,。,家人口计划估
8、计未来若干年我国人口增长系数应是单调减少的据此设想出一种。修正模型(二)修正模型
