《高等数学ii》期中自测题参考答案

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1、《《《高高高等等等数数数学学学II》》》期期期中中中自自自测测测题题题参参参考考考答答答案案案注注注记记记:这这这份份份自自自测测测题题题于于于下下下周周周三三三上上上课课课时时时交交交于于于课课课代代代表表表即即即可可可.注注注意意意:请请请把把把具具具体体体解解解答答答写写写在在在A4纸纸纸或或或者者者差差差不不不多多多大大大小小小的的的作作作业业业纸纸纸上上上,不不不要要要与与与平平平时时时的的的作作作业业业写写写在在在一一一起起起;另另另外外外,要要要独独独立立立完完完成成成,不不不要要要相相

2、相互互互对对对答答答案案案与与与相相相互互互讨讨讨论论论,一一一定定定不不不得得得抄抄抄袭袭袭(如如如有有有雷雷雷同同同解解解答答答,以以以零零零分分分记记记).(每小题5分,共60分.)1.求直线L:x−1=y=z−1在平面Π:x−y+z−1=0上的投影直线L的方程,并求L11−100绕y轴旋转一周所成曲面的方程.−→−→解解解:(1)直线L的方向向量为m=(1,1,−1)，平面Π的法向量为n=(1,−1,1)，−→−→−→则经过直线L且垂直于平面Π的平面Π1的法向量为h=m×n=(0,−2,−2)

3、再根据直线L经过点(1,0,1),得到该平面{Π1的方程为：y+z−1=0.x−y+z−1=0,所以投影直线L0的直线方程为y+z−1=0,{x=2y,从上述中解出x,z,即也即x=y=z−1.2−1z=1−y.(2)设M1(x1,y1,z1)是L0上的任一点,即满足x1=2y1,z1=1−y1,设当L0绕y轴旋转√√一周时,点M1绕y轴旋转到另一点M(x,y,z),则有y=y1,x2+z2=x21+z12.进而有√√√√x2+z2=(2y1)2+(1−y1)2=(2y)2+(1−y)2=5y2−2y

4、+1.故直线L0绕y轴旋转一周所形成的曲面方程为x2+z2=5y2−2y+1=5(y−1)2+4.55{10x+2y−2z=27,2.过直线L:作曲面3x2+y2−z2=27的切平面,求此切平面的方程,x+y−z=0,并求原点到该切平面的距离.解解解:设切平面π的方程为：10x+2y−2z−27+λ(x+y−z)=0(这是过此直线的平面束方程),即(10+λ)x+(2+λ)y−(2+λ)z−27=0.设函数F(x,y,z)=3x2+y2−z2−27，则Fx=6x,Fy=2y,Fz=−2z.−→令直线

5、L与曲面的切点为(x0,y0,z0),则曲面在的法向量为n=(6x0,2y0,−2z0),它也为切平面的法向量,所以有6x0=2y0=−2z0,从而y=z,10+λ2+λ−2−λ00切点(x,y,z)在切平面π方程中，所以(10+λ)x=27，从而x=27,0000010+λ同时切点(x0,y0,z0)在曲面3x2+y2−z2=27上，所以3x20=27,从而x0=±3.由上面可得27=±3，从而λ=−1或λ=−19,10+λ从而切平面π方程为9x+y−z−27=0或者9x+17y−17z+27=0.

6、利用点到平面的距离公式可知,原点距离这两个切平面的距离分别为√27和√27.83659√x−y22223.设f(x,y)=x2+y2sin(x+y),x+y̸=0,讨论:(1)f(x,y)在(0,0)点是否连续?0,x2+y2=0,(2)f(x,y)在(0,0)点是否可微?Date:May21,2018.12《高等数学II》期中自测题参考答案{x=rcosθ,解解解:(1)作极坐标变换这时(x,y)→(0,0)等价于r→0(对任意的θ),y=rsinθ,由于对于(x,y)̸=(0,0),√√√

7、√√f(x,y)−f(0,0)=x−ysin(x2+y2)=rcosθ−sinθsin(r2)≤2rsinr2≤2r,x2+y2√r2r222ε2因此，对任意ε>0,只需r=x+y<δ=，对任意θ都有√2f(x,y)−f(0,0)≤2r<ε,即lim(x,y)→(0,0)=0.因此f(x,y)在(0,0)点是连续的.√f(∆x,0)−f(0,0)∆xsin∆x2(2)可见fx(0,0)=lim∆x→0∆x=lim∆x→0∆x∆x2=∞,同理fy(0,0)=∞,即f在点(0,0)处偏导数不存在，所以f在

8、点(0,0)处不可微.{y=f(x,z),4.设二元函数f具有一阶连续偏导数,关系式可确定函数y=y(x)及ez=yz,z=z(x),求dy及dz.dxdx{{y=f(x,z),yx=fx+fzzx,解解解:对关系式两边对x求偏导数，则有ez=yz,ezzx=yxz+yzx,{yx−fzzx=fx,即zyx+(y−ez)zx=0,{fx(ez−y)yx=ez−y−zfz,解得fxzzx=ez−y−zfz.{x2+y2−uv=0,5.已知函数u=u(x