9再谈含有多个绝对值符号的问题

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1、9.再谈含有多个绝对值符号的问题拙文《如何解含有多个绝对值符号的方程》（《湖南数学通讯》1986年第4期）解决了求方程：的根的问题，本文想就与有关的图象、最值、不等式诸问题再谈点看法.一、作图象——从全局出发无论用什么方法把绝对值符号脱掉得到的函数都是关于x的线性函数，它的图象无非是射线或折线.当时，（1），其时图象是一条射线；当时，（2），它的图象也是一条射线；当时，的图象是连续的折线.那么，从整体上看，在的图象是连续的折线，所有的点都是折点.作的图象只需求出函数值和及，作出点.然后相邻两点连接（注意两端的图象是射线），就是所求的图象.并不需要分段求出函数表达式.例1求作的图象.

2、这是由[苏]C、E里亚平等著盛世雄译《初等代数习题集》p119的例题，原解法采用求出每一个区间内各段折线方程的方法作图，现解如下：解先计算.把A（0，3）、B（1，2）、C（2，3）、D（3，2）、E（4，3）、F（5，2）、G（6，3）依次连接（AB是以B为端点的射线，FG是以F为端点的射线），即为所求.二、求最值——抓特征性质由在的图象是连续的折线知有以下性质：1.若，则在上有.2.由于每条线段或射线对应的函数在相应区间上是单调的，故最值必能在某些折点达到.3.由（1）、（2）两式可知，和的值决定了在区间和上的增减性，故若，则无最值.若，当且最多有一个等于0时只有最小值；当且最

3、多有一个等于0时只有最大值；当时既有最小值又有最大值.因此，若有最大值，其最大值必为中的最大者；若有最小值，其最小值必为中的最小者.例1求的最值.解，，故只有最小值.，故的最小值为.例2求的最值.解，，故只有最大值.，故的最大值为例3求的值域.解，，故只有最小值.，故的最小值为，从而可知的值域为.例4求的最值.解，既有最大值又有最小值.，故的最大值为，最小值为.例5求的最值.解，，故没有最值.一、不等式——最值、方程当助手关于不等式可令，由和及结合方程求解.例6解不等式.（《中学数学研究》1985年第7期p11~14）解令，，，.由知，当时，.由知，的解集是，其中满足且，（参见《湖

4、南数学通讯》1986年第4期p36），.故的解集为.例1解不等式.（《数学教师》1987年第4期p15）解令，，，由知，当时，.由知，的解集为，其中满足且.但当时，故.所以的解集为.例2求的解集.（上海师大数学系《中学数学教学》1984年第4期p39）解令，，只有最小值..所以当时，故原不等式的解集为R.本文发表于湖南省数学学会主办的《湖南数学通讯》1988年第1期p20~21，发表时署名陕西省安康师范学校王凯（笔名）.