变换思想在中学数学中的应用

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1、目录1引言12数学变换思想在代数中的应用22.1恒等变换及其应用22.2换元变换及其应用32.3三角函数变换及其应用43.数学变换思想在几何中的运用53.1函数图象变换及其应用63.2几何中的相似变换及其应用83.3几何中的对称变换及应用103.4几何中的划归思想及应用114结论13参考文献14致谢15161引言自20世纪末，教育对现代化的基础作用日益凸现，要发展经济首先要发展教育，已是国人的共识。为发展教育，数学教育研究应时发轫，并出现了百花齐放的局面。数学教育与数学思想方法成了数学界内外的话题。关于数学思想方法的研究始自20世纪40年代，数学家波利亚著有《怎样解题》，20

2、世纪80年代徐利治教授在大学数学系开设“数学方法论”，著有《数学方法论选讲》。自此，数学方法的研究不断深入。关于数学思想方法，北京师范大学钱佩玲教授指出：“数学思想方法是以数学内容为载体，基于数学知识，又高于数学知识的一种隐性知识”。“是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂“。数学思想方法是一种指导思想和普遍适用的方法。数学本身作为一种科学，具有严谨性、逻辑性、简洁性、可靠性的特点。对思想方法的研究，有益于数学本身的研究，同时，数学是一种文化，是一种态度。美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.而当我们在解题过程中碰到一个新问题时，总想能够用自己熟

3、悉的知识去解决，这很自然地让我们想起用数学变换思想。只有对数学思想、数学方法理解透彻并能够融会贯通时，我们都才能提出新看法、巧解法.我们应该牢记，在数学学习中“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.中学数学试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。每年高考中也包含着大部分要结合数学变换思想来解答的题目，特别是像一些几何问题，需要借助图形变换来解答等等。这也是我研究此类题目的关系使然。本文主要是在前者对数学思想方法研究的基础上，

4、通过实际生活中数学变换思想的一些应用，提出了现代数学学习重点强调的是数学思想方法的掌握和应用.希望能引起同学们对解题策略的重视.文中讨论了一些常见的数学问题应用变换思想的例子，主要引用以下几种变换如对称变换，换元变换、三角函数变换、等价转化法等等.162数学变换思想在代数中的应用解题方法即解题技巧，可以帮助答题者以最有效率的方式得到答案.在数学考试中试题数量日益变大的形势下，如何能够利用变换思想更解答问题，提高解题效率成为考试成功与否的关键所在.解题方法多种多样，现在我们来看一个技巧性较高的方法-恒等变换。2.1恒等变换及其应用这种方法的特点是，将复杂的问题通过表达形式的恒等

5、变换转化成容易解决的问题，俗称“剥去华丽外表，还原简单内核”。例1：求，其中，分析：利用恒等变换得=，即将即将所求较复杂形式的数列极限转化成了简单形式的数列极限，易得==，（）。注：这种变换在平时解题中很容易看出来，但技巧性较强，应多加运用。且这种方法应用范围较为狭窄，下面我们认识一种挺普遍的解题方法-换元变换。2.2换元变换及其应用解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，即将复杂的式子或者条件化为简单的若干整体，其关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，

6、从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，问题变得容易处理.换元法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的主要方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.16例2：设实数满足，则的取值范围是___________.分析：本题如果我们直接进行求解或是采用配方法，难度较大.所以我们考虑利用换元思想.解：设，y=k-x,带入原式得,,所以或.注：在平时学习中数学变换思想的应用也是

7、数学素质训练的一个重要部分。例3：求函数满足条件的最小值。分析：引入参数，设x-1=t,从而x=t+1,y=2t-1,z=3t+2.于是有=，由一元二次函数知识可知，当时，函数取值最小值。消去参数t，便得到时，函数在满足所给的条件下有最小值，且最小值为。注：此题通过引入参数，进行换元变换，将求极值问题转化为求一元二次函数的最小值，比较简洁易懂。2.3三角函数变换及其应用在高考中，有一类题型是每年必不可少的，那就是三角函数及其应用。三角函数变换公式，尤其是和角、差角、倍角公式在高中数学竞赛或者高考中起着尤