关于weidmann猜想及具有转移条件微分算子的研究

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1、关于Weidmann猜想及具有转移条件微分算子的研究摘要本文围绕微分算子领域中的三个重要问题，即自共轭域、谱分析和具有转移条件的微分算子开展研究．由于自共轭算子的谱是实的．为了研究与谱分析相关的算子的零空间和值域，由实参数解构造的自共轭域的刻画则显得尤为重要，同时我们注意到：微分算子谱的离散性、亏指数以及微分方程1．t‘=地(入∈R)的实参数二2一解空间的维数都仅仅是由微分算式的系数决定的，这三者之间应有相当紧密的联系．1987年，Weidmann在其专著“Spectraltheoryofordinarydifferentialoperators”f931中就此提出了著名的猜想：“若对

2、任意A∈(pl，p2)cR，方程(7-一A)牡=0有‘充分多’的属于￡2(口，∞的解，则(p1，p2)中没有本质谱”．本文在中间亏指数情形下研究了这些在微分算子领域中十分重要的问题，给出了由实参数工2-解对自共轭域的完全刻画，包括用实参数工2一解构造了分离的自共轭边界条件．特别是当A不是特征值时，确定了7．u=Au的属于L2空间的实参数解初始条件所应具有的“标准”形态，据此构造了具有分离边界条件的自共轭算子At；并运用不等式估计和算子的强预解逼近证明了：若对任何入∈(pl，p2)，方程TU=入仳的实参数L2一解空间的维数等于亏指数时，最小算子乃的任何自共轭扩张A在区间∞1，化)中没有连

3、续谱；同时，通过对由两组不同实参数解刻画的自共轭域的结构分析，证明了A的特征值在区间(肛1，№)中是无处稠密的．本文的结果对Weidmann关于谱分布的猜想给出了一个很好的解答，揭示了实参数解的个数与连续谱存在性的内在联系．文章还研究了一类为很多数学、物理工作者所关注的具有某种“不连续性”的微分算子，即内部点处具有转移条件的Sturm-LiouviUe问题，包括它们的自共轭性、特征值以及特征函数系的完备性．我们用自共轭算子的定义直接证明了具有分离边界条件和转移条件的Sturm-Liouville算子是自共轭的；对于具有耦合边界条件和转移条件的Sturm-Liouville算子，我们将其

4、放在一个与转移条件相关的Hilbert空间中加以处理，引入了新的概念，即与转移条件相关的最大、最小算子，并证明了它们是相互共轭的．运用微分算子的一般理论，给出了这类算子为自共轭的充要条件，构造了确定特征值的整函数及其Green函数，证明了其特征函数系是完备的．应注意的是：本文给出的自共轭性判别准则，并不要求转移条件本身是自共轭的，只要求转移条件的系数矩阵行列式为正数；进一步地，对于一类边界条件中带有特征参数且具有转移条件的孓_L算子，通过给出一个与问题相关的新的算子．在一个适当的空间中证明它是自共轭的，并研究了其特征值与特征函数的性质；最后我们把具有转移条件的问题，抽象为一般的两区间上

5、定义的s_L问题。在一个新的带有适当乘数参数的Hilbert空间框架下研究了定义在两个区间上的S—L问题，给出了所有自共轭扩张的描述，且其关联边界条件的实耦合系数矩阵K的行列式可为任意正数．全文共分为七个部分：一、本文所研究问题的背景与本文的主要结果；二、实参数解给出的奇异微分算子自共轭域的完全刻画；三、在中间亏指数情形下线性无关实参数L2一解的个数对谱分布的影响；四、具有分离边界条件和转移条件的微分算子；五、具有转移条件的正贝lJSturm-Liouville算子的自共轭性；六、具有转移条件且边界条件中带有特征参数的Sturm-Liouville算予；七、关于两区间上定义的Sturm

6、-Liouville算子．关键词：微分算子，Weidmann猜想，中间亏指数，实参数解，自共轭域连续谱，离散谱，Sturm-Liouville算子，转移条件，特征参数OnWeidmann’SConjectureandDifferentialOperatorswithTransmissionConditionsABSTRACTInthisPaper，westudythreeimportantproblemsinthefieldofdifferentialoperators：self-adjointdomains，spectralanalysisandthed豳rentialoperato

7、rswithtransmissionconditions．S．incethespectruinofself-adjointoperatorsisreal，thecharacterizationofself-adjointd0-～，。．mainsbythereal-parametersolutionsisveryimportantforinvestigat-’ingthenullspaceandtherangeofoperatorassociat