一个具有混合边界条件的Laplace算子谱分析

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1、万方数据第25卷第12期No．12V01．25joURNALoFNE内I江JIA师N范G学N院OR学M获I。UNIVERSITY0FAI。·17·一个具有混合边界条件的Laplace算子谱分析周巧(盐城生物工程高等学校计算机系，江苏盐城224051)摘要：给出了Minkowski内维数和容量的定义，计算了一个三维分形边界区域上具有混合边界条件的LapIace算子的特征值的形式为：k。，一(警)2+(警)2+(譬)2，其中m。n一。，1，2。⋯，户=1．2．3，⋯，其Mink。wski维数为艿=iln2了6，为这类问题的谱分析奠定基础．关键词：分形边界；混合边界条件；特征值；M

2、inkowski维数中图分类号：0175文献标志码：A文章编号：1671—1785(2010)12--0017—040引言微分算子一直都是数学领域十分关注的问题，它有深刻的物理背景．它起源于1911年Weyl的工作，他考虑了如下Laplace方程的特征值问题[1．引．一△“2地，z∈Q，IfP、“=0，z∈aQ．J“7其中，Q是嗯”中的有界区域．本文根据其特征值A是离散的并且满足0

3、(R)=(27c)一％。IQI。R亏．这里}QI。表示Q的竹维Lebesgue测度，而表示吨”中的单位球的容积．但是这一结论只适用于光滑边界，为了推广这一结论，很多学者开始研究非光滑衄面的情形．无论区域的边界是分形还是非分形，这些讨论大多集中在单一的Dirichlet边界条件或单一的Neumann条件．到目前为止，对边界分形区域上满足混合边界条件的Laplace算子问题的讨论还比较少见．陈化n]于1998年讨论了一个连通区域上的谱渐近．本文就是基于陈化研究的基础上，讨论一个三维边界分形区域上具有混合边界条件的Laplace算子问题．1Sierpinski海绵与Minkowsk

4、i维数1．1Minkowski内维数和容量的定义及性质‘53设Q是R”中的一个区域，I=)Q是它的边界．对给定的￡>0，令蹉={z∈Qd(x，a12)<￡)．其中，d(x，aid定义为一点工到边界aQ的距离，而集理称作边界all的内￡一领域，对给定，≥0．再令卢．(z，aQ)=liminfe。‘””I赋I。．c—O。于是边界aQ的内Minkowski定义为艿=inf{，∈吨+I_“+(，，aQ)=0)=sup{z∈嗯+l卢。(z，a12)=+。。}．可以看到艿∈[竹一1，以]且口。(z，aQ)∈F0，+oo)．若艿为内Minkowski维数且0<口。(，，aQ)一／z。(，，

5、aQ)<+。。，这时收稿日期：2010—09—03作者简介：周巧(1974一)．女，江苏阜宁人．盐城生物工程高等学校讲师．研究方向：积分和微分．Ql=一epUS婴110aP和万方数据·18·内江师范学院学报第25卷第12期p(t，aft)。卢。(Z，a‘1)=弘。(Z，aQ)=lime-‘州’I鹾l。t—O十被定义为边界aQ的内Minkowski容量．Minkowski维数和容量有如下性质：(1)艿越大，边界all越不规则，若艿∈(竹一1，雄]，则af／是分形的；当艿一九一1时，aQ不是分形的．(2)一般地，0≤产．(z，aQ)≤卢。(z，aft)≤+。o，且若z<艿，则卢。

6、(z，aQ)=+o。；￡>艿，则卢’(￡，a．q)=0．1．2Sierpinski海绵与Minkowski维数下面本文来构造区域Q使得它的边界aQ是分形集Sierpinski海绵．首先将单位立方体等分成27个体积相等的小立方体，则每个小立方体的边长a。=3～，取正中间那个立方体，记为Q。一D，，那么，l。=1，然后将其余，z：=26个立方体各自都分成27个体积相等的立方体，都取正中间那个立方体，则这些更小一些立方体的边长都是a。=3～，记这样的立方体为H2D2=UQ2=7"／2Q2．这样一直做下去，在第七步时，本文得到了边长为a。=3_的，lI=26H个立方体Q^，令～D^=

7、UQ^=mQ^，⋯则区域oo∞Q=UD。=UmQ^，I詈1I=1从而Q的边界aQ就是Sierpinski海绵睁引．本文指出边界aQ的Minkowski维数为艿=訾．它可经如下计算获得：对任意的0