【硕士论文】两类微分方程多点边值问题正解的存在性.pdf

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1、华中科技大学硕士学位论文摘要非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支,因其能够很好地解释自然界中各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的关注.其中,多点边值问题起源于各种不同的应用数学和物理领域,具有广泛的应用背景,因而具有重要的研究价值,是目前研究较为活跃的领域之一.本文利用锥理论,不动点理论,Krasnosel’skii不动点定理等研究了几类多点边值问题正解的情况,得到了一些新的结果.根据内容本文分为三章,主要讨论了两类多点边值问题正解的存在性,其主要工具就是非线性分析中的不动点定理:第一章阐述了问题的历史背景,发展现状和本文

2、的主要工作.第二章通过构造Green函数,借助Krasnosel’skii不动点定理研究了一类奇异多点边值问题正解的存在性,这一部分的难点主要是格林函数计算的复杂性，对格林函数进行上下界的必要性以及技巧性.同时做为本文的一个注,也得到了共振情况下正解的存在性,推广了别人的结果并举例说明.第三章研究了一类无穷区间上多点边值问题多正解的存在性.为了克服区间是非紧的困难,我们建立了一个特殊的Banach空间和一个特殊的锥使得定义在无穷区间上的泛函有较好的性质.同时我们也得到了一些不等式,最后利用Avery-Peterson不动点定理来证明多正解

3、的存在性.关键词：多点边值问题,不动点定理,无穷区间,奇异,共振,正解,锥I华中科技大学硕士学位论文1绪论1.1问题的历史背景及发展现状常微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题,也是最为重要的课题之一,有着非常广泛的应用背景.工程,力学,天文学,经济学,控制论及生物学等领域中的许多问题都可归结为常微分边值问题.常微分方程两点边值问题已被深入而广泛的研究,并取得系统而深刻的结果.相比两点边值问题,常微分方程多点边值问题可以精确地描述许多重要的物理现象,有着非常广泛的实际应用背景.首先,它可应用于弹性稳定性理论.其次,它可以用来刻

4、画多种不同材料的导线的电流,也可应用于某些实际问题的中间过程,就是说,若已知某一过程若干点的信息,则可以利用抽象出的多点边值问题预测这一过程的发展情况.它也可以将许多经典的两点边值问题纳入同一个框架,但由于多点边值问题有其自身固有的难度,人们对多点边值问题的研究起步相当晚.1987年,II’in和Moiseev[1]开始讨论二阶非线性常微分方程多点边值问题;1992年,Gupta[2]开始研究二阶非线性常微分方程三点边值问题解的存在性;因为在理论和实际应用中,二阶非线性常微分多点边值问题更有意义,故之后,有许多学者都围绕二阶非线性多点边值

5、问题进行了研究,其中的大部分工作都是研究的二阶多点边值问题解的存在性.对于非共振情形的多点边值问题,其研究方法主要是使用不动点定理,例如利用Laray-Schauder不动点定理关于这方面的研究可参见文献[2–7].对于共振的多点边值问题,许多作者进行了讨论,形成了一个研究热点,他们的研究基本上都是围绕着下列二阶微分方程000x(t)=f(t;x(t);x(t))+e(t);0

6、]中研究了共振多点边值问题的可解性;1997年,Fang和Webb在文献[7]中对(1.1)中的f非线性增长限制的条件下,对下列两类三点边值问题0x(0)=0;x(1)=®x(´);(1.2)x(0)=0;x(1)=®x(´):(1.3)分别研究了非共振情形(BVP(1.1)(1.2)对应着®6=1;BVP(1.1)(1.3)对应着®6=1)与共´振情形(BVP(1.1)(1.2)对应着®=1;BVP(1.1)(1.3)对应着®=1)下解的存在性;2002年,´Liu和Yu[14,15]系统地讨论了四类带共振的m-点边值问题的可解性.但他

7、们只是讨论了1华中科技大学硕士学位论文非线性多点边值问题的可解性,并没有涉及到对这些问题正解的研究.直到1999年,马如云[16]利用锥上的不动点定理,给出了边值问题80,´2(0;1),®´<0.利用郭大均的范数形式的锥拉伸与压缩不动点定理,Liu[1

8、8]在2002年研究了非线性三点边值问题正解的存在性,而Ma在文献[19,20]中,分别研究了两类非线性m-点边值问题正解的存在性,最近,He与Ge[21]使用Leffctt-Williams