§5-2微积分基本公式

《§5-2微积分基本公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、无锡职业技术学院备课笔记§5-2微积分基本公式授课§5-2微积分基本公式内容课型课型：新授课课时课时2知识理解变上限的定积分是变上限的函数；掌握有关求导定理；掌握牛顿-莱布尼茨公目标式。教学能力数学理解能力；数学语言表达能力。目标目标素质数学文化修养，数学思维。目标1．变上限的定积分；教学重点2．牛顿-莱布尼茨公式。1．变上限的定积分；教学难点2．牛顿-莱布尼茨公式。教学过程步骤教师活动（教学手段、教学方法）备注内容利用定积分的定义计算定积分是很繁琐的，有时甚至无法计算.因此需要寻找一种较简单的计算定积分的

2、方法.定积分与实际问题是紧密相连的，为此我们先从具体实例中探求定积分计算的新思路.实例以速度v(t)作变速直线运动的物体，其运动方程为s=s(t)，在时间间隔b[a，b]内行进的路程可用定积分表示为s=vtdt，自然也等于s(b)－s(a)，a即bvtdt=s(b)－s(a)，a(1)注意到s(t)=v(t)，所以定积分是被积函数的原函数在积分上下限取值之差．再深入一步分析此实例，虽然它说的是直线上的变速运动，却揭示了积分和微分的辨证关系．事实上，从上述变速运动的路程公式(1)，显然有无锡职业

3、技术学院备课笔记xvtdt=s(x)－s(a)，(a

4、tdt定义一个函数ax(x)=ftdt，x[a，b]a称函数(x)为积分上限函数，或变上限定积分．注：积分上限函数(x)是x的函数，与积分变量是t或u等无关．它的几何意义如图5-7所示．图5-7这个函数(x)具有下面的定理1所指出的重要性质．定理1(微积分基本定理)设函数f(x)在[a，b]上连续，则以(3)式定义的积分上限函数(x)在[a，b]上可导，且x(x)=[ftdt]=f(x)，x[a，b]．a证明任取x[a，b]，改变量x满足x+x[a，b]，对应的改

5、变量=(x+x)－(x)无锡职业技术学院备课笔记xxxxxxx=aftdt－aftdt=[aftdt+xftdt]－aftdtxx=ftdt，x由积分中值定理=f()x，即=f()，(介于x和x+x之间)x当x0时，x；而f(x)在区间[a，b]上连续，所以limf()=f(x)，于是x0lim=f(x)，x0x即(x)在x处可导，且(x)=f(x)，x[a，b]．这说明，连续函数f(x)在区间[

6、a，b]取变上限x的定积分然后求导，其结果还原为f(x)本身．由于(x)是连续函数f(x)的一个原函数，故可得到定理2.定理2(原函数存在定理)如果f(x)在区间[a，b]上连续，则其在[a，b]上的x原函数一定存在，且(x)=ftdt是其中的一个原函数．a此定理的重要意义在于，一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步揭示了积分学中定积分与原函数之间的关系，即bfxdt(b)(a)．因此，我们就可以通过原函数来计算定积分．adxt例1求esintdt．dx0dxtx解e

7、sintdt=esinx．dx0d0例2求tan(13t)dt．dxxd0dx解tan(13t)dt=[tan(13t)dt]=－tan(13x)．dxxdx02dx例3求t．ecos2tdtdxa2utxt2解记(u)=ecos2tdt，则ecos2tdt=(x)．根据复合函数求导法则，aa有dx2dudu2t=[t=eucos2u2x=2xexcos2x2．ecos2tdtecos2tdt]dxaduadx(x)一般的，f(t)dtf(x)(x)

8、a无锡职业技术学院备课笔记xsintdt0例4求lim.x0x2xxsintdt00解因为limsintdt0，所以lim是一个型未定式极限，可利x00x0x20用洛必达法则计算.xxsintdt(sintdt)sinx100limlimlim.x0x2x0(x2)x02x2二、牛顿－莱布尼兹公式定理3(牛顿－莱布尼兹公式)设f(x)在区间[a，b]上连续，F(x)是f(x