1.3.1单调性与最大(小)值

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1、课题导入函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，能说出它们的变化规律吗？xy02-22-2xy022-2-2保持量（百分数）天数123456020406080100某市一天的温度变化图:y＝f(x)，x∈[0，24]说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?1.3.1单调性与最大（小）值教学目标知识与技能过程与方法理解函数的最大（小）值及其几何意义，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低

2、）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．情感态度与价值观教学重难点重点函数的最大（小）值及其几何意义.难点利用函数的单调性求函数的最大（小）值.问题1画出f(x)=x的图像，并观察其图像。2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降____?上升增大1、在区间________上，f

3、(x)的值随着x的增大而______.问题2画出的图像，并观察图像.o5-5-552、在区间________上，f(x)的值随着x的增大而_____.(-∞,0](0,+∞)减小增大对于二次函数，我们可以这样描述“在区间上，随x的增大，相应的f(x)也随着增大”.在区间上，任取两个，得到，当时，有这时，我们就说函数在区间上是这增函数.xy21013（1）对于函数y=f(x)，若在区间I上，当x＝1时,y＝1;当x＝2时,y＝3,能说在区间I上函数值y随自变量x的增大而增大吗?思考（2）对于函数y=f

4、(x)，若在区间I上，当x＝1,2,3,4,时,相应地y＝1,3,4,5，能说在区间I上函数值y随自变量x的增大而增大吗？思考xy103421234xyx10x2x3xny1y2y3ynx应该取区间I内所有实数(3)对于函数y=f(x)若区间I上有n个数x1

5、，我们就说函数在区间上是这减函数.函数单调性的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数,如图2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1yx0x

6、1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图21、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2)分别是增函数和减函数.注意在某区间上，减函数图象下降。增函数图象上升xyoxyo如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数的单调性定义例1下图是定义在区间[-4,5]上的函数y

7、=f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？12345-1-2-3-4-2-323o解：函数y=f(x)的单调区间有[-4，-2)，[-2，-1)，[-1，1)，[1，3)，[3，5],其中y=f(x)在区间[-4，-2)，[-1，1)，[3，5]上是增函数，在区间[-2，-1)，[1，3)上是减函数.例2物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数.证明：根据单

8、调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V10,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差变形结论用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）定号（4）判断根据单调性的定义得结论即取是该区间内的任意两个值且即求，通过因式分解、配方、有理化等方法即根据给定的区间和的符号的确定的符号例３求证：函数在区间上是单调增函