大型稀疏线性方程组的嵌套迭代算法

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1、丈型稀疏线性方程组的嵌套迭代算法第一章引言我们考虑如下线性方程组Az=b的求解，其中A∈彤“为已知的非奇异实矩阵，6∈彤为已知的实向量，z∈俨为要求的实庵量一当矩阵A的玢数绍比较／』、对，常用的是被称为直接法的求解方法．但当矩阵4具有大型稀疏结构时，直接法求解就比较困难，而且这样的做法通常会破坏系数矩阵原本的稀疏结构．对于这类方程组的求解，入ff、T垂多的是霸憎建代方法送行效筮篆超传统的分裂迭代法如Jacobi迭代法，Gauss．Seidel迭代法，solt迭代法等以及它们各自相应的块迭代方法已较为熟知与常见，二级迭代法使得传统的分裂迭代法得以进

2、一步的改进，关于二级迭代法文献很多，较早的有Nichols[31]；F'rolnmer，Szyld【19][20】讨论了系数矩阵为日矩阵时的情况，其中的内外分裂为Ⅳ分裂与H相容分裂；c”19]给出了系数矩阵为肌rmif,ian,阵时的收敛性，相应的矩阵分裂力P正则分裂．O’LeaJy，White[32】提出了求解线性方程组的多重分裂迭代方法，并且讨论了这一方法当系数矩阵为单调矩阵以及对称正定矩阵时的收敛性．随后这一方法被很多作者进～步研究过。在二级迭代法及多重分裂迭代法的基础上，Szyld，、Iones[36]提出了二级多重分裂法，其中的系数矩阵

3、为单调矩阵，相应的分裂为正则分裂与弱正则分裂。线馑方程缰的鼓套迭彳弋算法与嵌套块送捷雾法是由Lar,zkrou，P也，纠?提出来的，这一方法最初的想法是为了应用二级迭代法于块Gauss-Seidel迭代法上，但通常的二级选代法并不能盘接有效地应用到块Cau*s—Seidel迭代法上，原因是盲接对矩阵进行两次分裂时常常会改变矩簿的块三角结构，为既引入嵌套迭代的思想，使得二级块(j8JISS．Seidel迭代法更为有效．当系数矩大型稀疏线性万程组的嵌套选代算法陌j为单调矩阵时，f24f中给出了这两个箨法的收敛撑及收敛的单谓性分祈。Cao[8][9】进

4、一步研究了这些方法，其中[9]中的系数矩阵为tle7mitifm阵，【8]中的讨论要求矩阵分裂具有优分裂．本文进一步讨论Lanzkron，etc．[24I中的嵌套迭代法与嵌套块迭代法，给出了系数矩阵为H阵时这两个算法的收敛性以及系数矩阵单调时嵌套迭代法收敛的单调性分析，此处我们的结果相对于f8】更为直接与具体．在此基础上，结合132l中的多重分裂迭代法，我们给出更为一般的嵌套多重分裂迭代算法，并分别分析了系数矩阵为单调矩阵与日矩阵时算法的收敛性．最后通过相应的数值试验说明了本文结果的合理性与相对优越性本文的结构是这样安排的：在介绍完本篇文章要用到

5、的各种符号及有关定义、引理及常见的结论后，我们将在第三章给出本文所要用到的各种算法及这些算法之阎的关系；第四荦与第五章则分别是算法的收敛性分析以及收敛的单调性分析，其中收敛性的分析包括定常迭代法与非定常迭代法两种情况；在收敛性与收敛的单调性分析的基础上，第六章则是用以验证我们结果的数值试验；最后第七章是对本文主要结桑的总结与综合评述．2大型稀疏线性方程组的嵌套迭代算法第二章预备知识为了以后行文方便，本章第一节将本文常用的一些记号，定义以及后面需要的常见结果作一简要的说明；第二节给出了本文主要涉及到的两类矩阵及其相应的分裂性质．本章的所有详细内容均

6、可参阅Vmga[37]，BelI]a[i、Plemmonsf4】以及Ortega，Rheinboldt[33]，2．1符号说明与相关引理介绍设A=(aij)为扎阶方阵，其特征值为九，i=l，2，⋯川。!I!{j称一-4)=l】1“姆9⋯为矩阵J4的谱半径；如果B。≥0(或a。，>o)，对所有的i_成立，则称A是非负(或正)矩阵，记做A≥0(或A>o)设A，B∈Rn×n如果A—B≥0(或．4一B>o)，则记做A≥13(或A>B)．我们用JAf表示A的元素取绝对值之后所得到的非负矩阵，即川=(1啦J1)；称(以)=(“。)为A的比较矩阵，如果o“=‰

7、{，％=一lai．fI，i≠J，i，J=I．2，⋯m令Z““：={A=(aij)：％<0，i≠，}，即Z““为非对角元为非正的矩阵全体构成的集合．设z(们，茁(”，z(”，⋯为C“中的列向量序列，z∈Cn．如果lim≈。。茹轳)：lj．1茎Js礼，其中z∥和巧分别是向量￡(“)和z的第J个元素，则称z为此向量序列的极限，记作limk+。。(‘)=。．如果向量序列有极限，则称此向量序列是收敛的．进一步地，我们称C“中的向量无穷级数∑函Ⅳ(t)收敛到Cn中的向量Y，如果其部分和数列收敛到Y，即lim”．+。。∑墨。玉。)=Yj，1sJ≤n，其中功埘和

8、协分别是向量Ⅳ(‘)和Ⅳ的第J个元素．类似地，矩阵序列和矩阵级数亦有同样的收敛性定义，如果】im抽。小=0，即矩阵序列f一‘}以零矩阵为