压缩感知盲稀疏信号贪婪迭代重构算法研究

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1、第一章绪论为N×1维：正交基Y={甲0：。={Y，，甲：，Y∥一，甲Ⅳ}是M×N维矩阵。由公式x=(J，甲。)=甲jJ能够看出，原信号s的等价表示就是稀疏信号x。若稀疏信号工中大系数的元素个数很少，那么说明信号s具有可压缩性：若稀疏信号x的非零元素的个数只有k(k删1个，则称x为原信号5的七一稀疏表示，、王，为原信号J的稀疏基。此外，信号S还可使用冗余字典代替标准正交基进行稀疏变换[zt．13】。(2)信号的编码测量在cs理论中，测量矩阵的设计是信号实现高效恢复的关键之一。如果在观测过程中，随机投影后得到的观测值打破了原信号S的信息结构，那么就不可能完成信号s的重建。考虑一般可压缩信号的

2、重建问题，即已知某一个测量矩阵m(①∈月m。Ⅳ，M《N)，信号S在该矩阵下的线性测量值(亦可看成在矩阵m下原信号J的线性投影)为y，即y=Os．Y∈∥蝴(1．2)由于信号S的维数Ⅳ远远大于y的维数M，故式(1．2)为不定方程，解向量有无穷个，难以重构原始信号。但若信号J可压缩，且为k一稀疏信号，则等式(1．2)可转换为：Y=Os=①吼=0x(1．3)其中o=golf为MxN维的压缩传感矩阵，此时在满足M≥k条件下，式(1．3)有解。Cand色s和Tao等人证明，若要从M个测量值中准确地重建出k一稀疏信号工，观测数目M(即y的维数)要满足条件M=o(KlIl(Ⅳ))，同时传感矩阵。亦一定要

3、满足约束等距性(RestrictedlsometeyProperty，RIP)条件【14】，其描述如公式(1．4)所示：(1一反)0硼：-<110rx眶≤(1+喀)0卅《觇∈R衍(1．4)这里x为k一稀疏信号，矩阵o，是由从传感矩阵O里提取的r列(rc{1，2，．．．，Ⅳ}，IrI≤尼)向量组成，常数瓯∈(o，1)称作传感矩阵@的七一有限等容常数。压缩感知盲稀疏信号贪婪迭代重构算法研究通常情况下，为了能够精确地恢复出原k一稀疏信号x(其k个非零元素的位置未知)，其充分条件是传感矩阵O必须满足3七阶约束等距性，即：(1-53。)㈣；-<110堪-<0+53。)㈣：，比∈Rm，五。∈(o，1

4、)(1．5)由公式(1．4)、(1．5)来验证观测矩阵是否满足脚条件计算复杂度非常大，为此，Baraniuk在文献【15]中给出了一种脚特性的等价表示，即稀疏变换基甲与观测矩阵圣不相干，二者的相关性由式(1．6)定义：∥(西，甲)=maxl(办，吩)I(1．6)这里苁表示矩阵m的第k行，y，表示矩阵甲的第_，行。文献[6，16]．【i明①为高斯随机矩阵时，可使得O总能以比较高的概率满足脚条件；另外，伯努利测量矩阵、局部傅里叶矩阵、一致球测量矩阵等亦能使得传感矩阵@满足脚特性【17】。本文选择的测量矩阵是一个大小为M×N、服从Ⅳ(o，拗独立分布的高斯随机矩阵a综上所述，设计观测矩阵具备以下

5、三方面条件至关重要：(1)观测矩阵各个列向量间互不相关；(2)观测矩阵各个列向量必须满足独立随机性；(3)稀疏度的解向量需要满足最小正范数条件。(3)重构算法重构算法是CS理论其中一个核心内容，旨在通过较少的观测数据最大程度地重构原始信号。Candes等人证明，通过求解最小，0范数问题可由测量值Y准确恢复出稀疏信号x[他】，求最优解的目标函数模型如下：叠=argminbllos．1．OWx=y(1．7)由于M《N，因而式(1．7)是一个NP(Non—deterministicPolynomial)一hard问题，必须穷举x中非零值的c：种排列可能，求解特别复杂，无法在实际应用中实现，且抗

6、噪能力不佳。鉴于此，研究者提出了一系列计算次优解的算法，如迭代阈值法119-201、最小fl-，-v。v-一’，、。[211、匹配追踪类算法【221、组合算法及其各种改进算法。第一章绪论1．2．2压缩感知的应用压缩感知理论一经提出，就引起了大量学者的极大兴趣，作为--f-]新兴的信号采样理论，其应用前景非常广阔。近年来该理论的应用已渗入到较多领域，包括压缩成像[23】、模拟信息转换124-251、生物传感126】、信源编码【27】等，并取得了一系列激动人心的成果。(1)压缩成像领域美国Rice大学研制的“单像素”压缩数码照相机利用的就是压缩成像原理[2s1，该相机利用数字微镜器件，直接获

7、取M次的随机测量值，较传统数码相机，前端用于采样的传感器数目大大减少，为使用低像素相机拍出高质量图像提供了可能。压缩传感技术还可用于雷达成像与医学成像领域，Bhattacharya等在获取合成孔径雷达图像的数据时采用了CS理论，从而解决了海量数据的采集与存储问题，使得卫星图像处理的代价显著降低【29】。(2)模拟信息转换对超带宽信号的处理，Kriolos等设计的模拟，信息转换器亦基于CS理论【30】；Laska等进一步发展了基于随机