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1、稀疏矩阵在迭代求解线性方程组中的运用学院：自动化院专业：电力系统及其自动化姓名：张庆磊学号：111101112指导老师：杨伟摘要:对于稀疏矩阵的稀疏存储技术进行了研究，研究了按行存储的检索方式，以便于迭代计算，分别对雅克比法和高斯一赛特法的算法进行理论研究和程序实现，并且比较了两种方法的优劣。关键词：系数技术；线性方程；迭代大型稀疏矩阵线性化方程组的求解问题，在电力系统中有着广泛的的运用。由于电力网本身的结构限制，节点导纳矩阵节点繁多，而仅有少量的非零元，稀疏度很高，若采用传统存储计算方式，会占用大量的存储空间，并且降低运算效率。在迭代计算中，由于无法分辨零元素，也会无谓地
2、浪费运算时间。因此稀疏技术在求解方程组中的运用显得尤为重要。1.稀疏矢量与稀疏矩阵的存储稀疏矢量与稀疏矩阵的存储特点是排零存储，即只存储其中的非零元和有关的检索信息•存储的目的是为了在计算中方便的访问和运用，这就要求既节省内存，又便于搜索。论文采用了按行存储格式。按行顺序依次存储A中的非零元，同一行元素依次排列在一起，存储格式:VA——按行存储矩阵A中的非零元切，共万个；JA——按行存储矩阵A中的非零元的列号，共万个；IA——记录A中每行第一个非零元在VA中的位置，共n个。2.迭代法求解线性方程设AwR；T，bw/r,考虑线性方程组Ax=b一般的，先将式1变为同解方程组X=
3、Bx+f形成迭代式,2)=Bxa)+/式中：B为迭代矩阵；若要求迭代式收敛则需满足p(B)<1或
4、
5、B
6、
7、vl,其中
8、卜
9、
10、为任意范数式1中，A可以分裂为(1)A二M+N其中，M非奇异，则可以得到xu-M^Nx+M—'b令B=-M'[N=I-M'[A对于以矩阵A,有A二D+L+U其中D为对角线矩阵，L为严格下三角矩阵，U为严格上三角矩阵由此构造迭代法，令M二D,N=L+U严)=Bx®+f式中，向量f和迭代矩阵B为f=D~lb[B=-D~L-}-U)=I-D~lA上式称为Jacobi迭代。可简单描述为(nA1(7)(9)兀严)二b厂工a冲一k知丿aH如果令M二D+L,N=
11、U,对应的分裂式有=(D+b[B=-(D+L)_1U=I—(D+L)~[A便得到Gauss一Seidel迭代法，即/j-lnY伙+1)—LV*ZJY(“+l)V1Z/JI火I“-b厂乙cijjXj-乙®jXjIj=ij=/+i丿aa1.J迭代法和G-S迭代法的收敛性aii＞工
12、呦j=hj石0=1,2,・・・曲)(10)则称A为严格对角占优矩阵。若A为严格对角占优矩阵，则Ax=b的J迭代法和G—S迭代法均收敛。但特别的是，J迭代法和G-S迭代法的收敛没有相容性，即J迭代法下收敛的矩阵在G-S迭代法上无法确定是否收敛，反之亦然。1.算法程序的设计流程图:开始▼YN具体程序：A
13、二inputCEntcrMatrixA」)b二inputCEnterMatrix)b=input('Entern二')inti;intj;intia;intja;intvl;intvu;intvk;intvd;%%vl:存储下三角vu:存储上三角vd:对角元素vk:对应行号[ia,ja]=size(A);VA二zeros(3,ja);vu=l;fori=l:iavk二0;forj=l:jaif((A(i,j)"=0)&(vk==0))VA(3,i)二vu;endif(A(i,j厂二0)vk=l;VA(1,vu)=A(i,j);VA(2,vu)=j;vu=vu+l;enden
14、dendVA(3,ia+1)二vu;VA(3,ia+2)=vu;vs=l;X=ones(1,ja)s二2while((s>0.0001)&(vs<100))vs二vs+1s=0fori=l:iaforj=VA(3,i):(VA(3,i+l)T)if(VA(2,j)二二i)vd=jendendvl=vd-l;vu二vd+1;%3e%6iAemsi二0if(vl>=VA(3,i))forvk=VA(3,i):vlsl=sl+X(vs~a,VA(2,vk))*VA(1,vk)endend%3E%6filEy'^su=0;if(vu<=VA(3,i+1))forvk=vu:(VA(
15、3,i+l)-l)su=su+X(vs-1,VA(2,vk))*VA(l,vk)endendX(vs,i)=(b(i)-sl-su)/VA(l,vd)if(s
