高等数学第三章课后习题答案

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1、班级姓名学号第三章中值定理与导数的应用1.验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。解：函数在区间上连续，在区间内可导，故在上满足拉格朗日中值定理的条件。又，解方程得。因此，拉格朗日中值定理对函数在区间上是正确的。2．不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。解：函数可导，且。由罗尔定理知，至少存在使即方程有至少三个实根。又因方程为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程有且只有三个实根，分别位于区间内。3．若方程有一个正根证明:方程必有一个小于的正根。解：取函数。上连续，在内可导，且由罗尔定理知至少存在一点使即方程必有一个小于的正根。4．

2、设求证不等式：9班级姓名学号证明：取函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点，使，即，故5．设在上连续，在内可导，证明存在使证明：取函数，则在上连续，在内可导，由柯西中值定理知，存在，使，即。6．证明恒等式:证明：取函数，则.则因为，故。7．证明：若函数在内满足关系式且则.证明：故9班级姓名学号，又8．用洛必达法则求下列极限（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：9班级姓名学号（6）解：（7）解：（8）解：因为，而.所以（9）解：因为，而,所以，9.验证存在，但是不能用洛必达法则求出。9班级姓名学号解：由于不存

3、在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：。10.当时，求函数的阶泰勒公式。解：因为故其中介于x与之间.11.求函数的阶麦克劳林公式。解：因为故其中介于x与0之间。12．确定函数的单调区间。解：函数除外处处可导，且9班级姓名学号令，得驻点这两个驻点及点把区间分成四个部分区间当时，，因此函数在内单调减少。当时，，因此函数在内单调增加。13．证明不等式：当时，证明：取函数因此，函数在上单调增加，故当时，，即亦即，当时，14.设在时都取得极值，试确定的值，并判断在是取得极大值还是极小值？解：，在取得极值，则9班级姓名学号，，故又因

4、，故，所以在时取得极大值；，所以在时取得极小值。15．求函数在闭区间上的最大值与最小值。解：函数除外处处可导，令，得驻点又因，，，，故，最小值为，最大值为。16．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为问底宽为多少时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设界面周长为，已知及即故令，得驻点由知为极小值点。又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。17．求函数图形的拐点及凹或凸的区间。9班级姓名学号解：令，得。当时，，因此函数在内是凸的；当时，，因此函数在内是凹的；

5、当时，，因此函数在内是凸的。曲线有两个拐点，分别为18．利用函数图形的凹凸性，证明:证明：取函数则当时，，故函数在上是凹的，故对任何，恒有即19．试决定曲线中的使为驻点,为拐点，且通过.解：由题设知，即.9班级姓名学号解得20．描绘函数的图形。解：（1）定义域；（2）.（3）列表如下：x0(0,1)1---0+不存在--0+++不存在+拐点极小值（4），.x=1是垂直渐近线；y=0是水平渐近线.(5)取辅助点.（6）作图：9班级姓名学号21．求椭圆在点处的曲率及曲率半径。解：两边对x求导得,从而.两边对再x求导得.把代入得,把代入.因此椭圆在点处的曲率为,曲

6、率半径22．试问：抛物线上哪一点处的曲率最大？解：9