2017年天津市南开中学高三文科下学期第五次月考数学试卷

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1、2017年天津市南开中学高三文科下学期第五次月考数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.复数z满足：z−i2−i=5，则z=  A.−2−2iB.−2+2iC.2−2iD.2+2i2.函数fx=−1x+log2x的一个零点所在区间为  A.0,1B.1,2C.2,3D.3,43.若a=30.3，b=logπ3，c=log0.3e，则  A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a4.若3a2+3b2−4c2=0，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为  A.12B.23C.34D.15.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为  A

2、.B.C.D.6.如图，F1，F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是  A.2B.3C.32D.627.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=23，则1x+1y的最大值为  A.2B.32C.1D.128.设fx=x3+log2x+x2+1，则对任意实数a，b，a+b≥0是fa+fb≥0的  A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（共6小题；共30分）第8页（共8页）9.已知全集U=R，A=yy=2x+1，B=xx−

3、1<2，则∁UA∩B= ．10.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ．11.设函数y=fx在区间0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤fx≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=fx及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S．先产生两组（每组N个）区间0,1上的均匀随机数x1，x2，⋯，xN和y1，y2，⋯，yN，由此得到N个点xi,yi（i=1,2,⋯,N）．再数出其中满足yi≤fxi（i=1,2,⋯,N）的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为 ．12.已知an是首项为1的等比数列，Sn是它的前n项和，且9S3=S6，则数列1an的前5项和为 ．13.如

4、图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则AC⋅BD的值为 ．14.已知函数fx=ax+x2−xlna，对任意的x1,x2∈0,1，不等式∣fx1−fx2∣≤a−1恒成立，则实数a的取值范围为 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=23sinxcosx−2cos2x+1．（1）求函数fx的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若fA2=2，b=1，c=2，求a的值．第8页（共8页）16.某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1 

5、m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2．出售一张书桌可获得利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使所得利润最大?17.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（1）证明：DC1⊥BC．（2）求二面角A1−BD−C1的大小．18.椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12．过F1的直线交椭圆于A，B,两点，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在

6、坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19.已知数列an的前n项和Sn=−an−12n−1+2（n为正整数）．（1）令bn=2nan，求证数列bn是等差数列；（2）求数列an的通项公式；（3）令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+⋯+cn．是否存在最小的正整数m，使得对于n∈N*都有Tn<2m−4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，请说明理由．20.已知函数fx=lnx+x2−axa∈R．（1）当a=3时，求函数fx的单调区间；（2）若函数fx有两个极值点x1，x2，且x1∈0,1，证明fx1−fx2≥−34+ln2．第8页（共

7、8页）答案第一部分1.D【解析】由z−i2−i=5，所以z=52−i+i=2+2i．2.B3.A【解析】因为a=30.3>1，b=logπ3∈0,1，c=log0.3e<0，则a>b>c．4.D【解析】由圆的方程得到圆心坐标为0,0，半径为1，因为3a2+3b2−4c2=0，所以圆心到直线ax+by+c=0的距离d=∣c∣a2+b2=32，所以圆x2+y2=1被直线ax+by+c=0所截得的弦长为21−34=