2016年天津市南开中学高三理科下学期第五次月考数学试卷

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1、2016年天津市南开中学高三理科下学期第五次月考数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.i是虚数单位，复数7+i3+4i=  A.1−iB.−1+iC.1725+3125iD.−177+257i2.设变量x，y满足约束条件x+y−2≥0,x−y−2≤0,y≥1,则目标函数z=x+2y的最小值为  A.2B.3C.4D.53.设p:x2−3x+2>0，q:x2−1∣x∣−2>0，则p是q  A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数fx=x3−3ax，若fx存在唯一的零点x0，则a的取值范

2、围是  A.0,+∞B.0,+∞C.−∞,0D.−∞,05.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为  A.2B.4C.8D.166.设等差数列an的前n项和为Sn，若Sk−1=−3，Sk=0，Sk+1=4，则k=  A.5B.6C.7D.87.在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=2，点P为△ABC内一点，若∠BPC=90∘，PB=1，则PA=  A.4−3B.72C.7D.18.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120∘，点E，F分别在边BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC，若AE⋅AF=1，CE⋅

3、CF=−23，则λ+μ=  第11页（共11页）A.12B.23C.56D.712二、填空题（共6小题；共30分）9.如图，向边长为1的正方形内随机地投点，所投的点落在由y=x2和y=x12围成的封闭图形的概率为 ．10.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 ．11.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为 ．12.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A，B两点．若△AO

4、B是等边三角形，则a的值为 ．13.如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE= ．14.已知函数fx=∣x2+5x+4∣,x≤02∣x−2∣,x>0．若函数y=fx−a∣x∣恰有4个零点，则实数a的取值范围为 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.设函数fx=32cos2x+sin2x+π4．（1）求fx的最小正周期和单调递增区间；第11页（共11页）（2）当x∈−π12,5π12时，求fx的取值范围．16.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3

5、4，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（1）求该射手恰好命中一次的概率．（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．17.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BFC=90∘，AB=2，EF=1．（1）求证：FH∥平面EDB；（2）求二面角B−DE−C的大小；（3）求四面体B−DEF的体积．18.如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0

6、的离心率为12，其左焦点到点P2,1的距离为10，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（1）求椭圆C的方程；（2）求△ABP面积取最大值时直线l的方程．19.设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．（1）求证：an是首项为1的等比数列；（2）若数列bn的前n项和为Tn=n2+2n，求数列an⋅bn的前n项和；（3）若a2>−1，求证：Sn≤n2a1+an，并给出等号成立的条件．20.已知a，b是实数，函数fx=x3+ax，gx=x2+bx，fʹx和gʹx是fx，gx的导函数，

7、若fʹxgʹx≥0在区间l上恒成立，则称fx和gx在区间l上单调性一致．（1）讨论fx的极值；（2）设a>0，若函数fx和gx在区间−2,+∞上单调性一致，求实数b的取值范围；（3）设a<0，且a≠b，若函数fx和gx在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求∣a−b∣的最大值．第11页（共11页）第11页（共11页）答案第一部分1.A【解析】7+i3+4i=7+i3−4i3+4i3−4i=25−25i32+42=1−i．2.B3.B【解析】关于p:x2−3x+2>0，解得：x>2或x<1，关于q:x2−1∣x∣−2>0，解得：x>2

8、或x<−2或−1