2017年天津市南开中学高三理科下学期第五次月考数学试卷

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1、2017年天津市南开中学高三理科下学期第五次月考数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=xx2−2x−3>0，集合B=x∈Zx2≤4x，则∁RA∩B=  A.x0≤x≤3B.−1,0,1,2,3C.0,1,2,3D.1,22.设变量x，y满足约束条件x−y+2≥0,2x+3y−6≥0,3x+2y−9≤0,则目标函数z=2x−y的最大值是  A.−2B.2C.−6D.63.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为  A.1B.2C.3D.44.在3x2−1x6的二项展

2、开式中，x3项的系数为  A.540B.−540C.20D.−205.已知m，n是两条互相垂直的直线，α是平面，则n∥α是m⊥α的  条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要6.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，A，B为双曲线的左右顶点，若点M在双曲线上，且满足△ABM为一个顶角为120∘的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是  A.y=±xB.y=±2xC.y=±2xD.y=±22x7.设实数a，b，c分别满足2a3+a=2，blog2b=1，clog5c=1，

3、则a，b，c的大小关系为  A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b8.若函数fx=∣x−1∣x+2与gx=kx−13的图象恰好有两个公共点，则实数k的取值范围是  A.−∞,−14B.0,+∞第12页（共12页）C.−∞,−14∪0,+∞D.−14,0二、填空题（共6小题；共30分）9.设i为虚数单位，则2+i1−i−1−i= ．10.已知抛物线的参数方程为x=2pt2,y=2pt（t为参数），其中p>0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若∣EF∣=∣M

4、F∣，点M横坐标为6，则p= ．11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为 ．12.设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a2a1等于 ．13.函数fx=x3−x2+x+1在点1,2处的切线与函数gx=x2围成的图形的面积等于 ．14.已知O是△ABC外接圆的圆心，若4OA+5OB+6OC=0，则cosC= ．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=3sinxcosx−cos2x+mm∈R的图象过点Mπ12,0．（1）

5、求m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c．若ccosB+bcosC=2acosB，求fA的取值范围．16.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35 微克/立方米以下空气质量为一级；在35 微克/立方米∼75 微克/立方米之间空气质量为二级；在75 微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如

6、茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．第12页（共12页）（1）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（3）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．17.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=12AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD．（1）求证：D为AA1的中点；（2）求直线BC1与

7、平面BDC所成角的正弦值；（3）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，若存在，说明M的位置，若不存在，说明理由．18.设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2．点Pa,b满足PF2=F1F2．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆x+12+y−32=16相交于M，N两点，且MN=58AB，求椭圆的方程．19.记U=1,2,⋯,100，对数列ann∈N*和U的子集T，若T=∅，定义ST=0；若T=t1,t2,⋯,

8、tk，定义ST=at1+at2+⋯+atk．例如：T=1,3,66时，ST=a1+a3+a66．现设ann∈N*是公比为3的等比数列，且当T=2,4时，ST=30．（1）求数列an的通项公式；（2）对任意正整数k1≤k≤100，若T⊆1,2,⋯,k，求证：ST