2017年江苏省徐州市高二理科下学期数学期中考试试卷

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1、2017年江苏省徐州市高二理科下学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1.复数2−i1+2i= ．2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60∘”时，结论的否定是 ．3.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有 种．4.由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的句子依次为 （写序号）．5.设z为纯虚数，且∣z−1∣=∣−1+i∣，则z= ．6.观察下列各式9−1=8，16−4=12，25−9=16，36−16=20⋯，这些等式反

2、映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为 ．7.若2x+34=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a2+a42−a1+a32= ．8.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．9.用数学归纳法证明不等式1+12+14+⋯+12n−1>12764成立，起始值至少应取为n= ．10.用数学归纳法证明：1+12+13+⋯

3、+12n−11，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是 项．11.某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为 （以数字作答）．12.已知复数z满足等式∣z−1∣=∣z+2i∣（i是虚数单位），则∣z−1−i∣的最小值是 ．13.如图，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量OA围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin

4、θ6+cosθ6= ．14.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0第8页（共8页），与x轴，直线y=hh>0及渐近线y=bax所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积 ．二、解答题（共6小题；共78分）15.设复数z=a+bi（a,b∈R，a>0，i是虚数单位），且复数z满足∣z∣=10，复数1+2iz在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若z+m−i

5、1+i为纯虚数（其中m∈R），求实数m的值．16.阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ, ⋯⋯①sinα−β=sinαcosβ−cosαsinβ, ⋯⋯②由①+②得sinα+β+sinα−β=2sinαcosβ, ⋯⋯③令α+β=A，α−β=B有α=A+B2，β=A−B2，代入③得sinA+sinB=2sinA+B2cosA−B2．（1）利用上述结论，试求sin15∘+sin75∘的值；（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA−cosB=−2sinA+B2sinA−B2．17.已

6、知x2−1xn的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为314．（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项．18.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法?（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员．19.（1）找出一个等比数列an，使得1，2，4为其中的三项，并指出分别是an的第几项；（2）证明：2为无理数；（3）证明：1，2，4不可能为同一等差数列中的三项．20.已知函数fx=alnx−x+1x，gx=x2+x−b，y=

7、fx的图象恒过定点P，且P点既在y=gx的图象上，又在y=fx的导函数的图象上．（1）求a，b的值；第8页（共8页）（2）设hx=fxgx，当x>0且x≠1时，判断hx的符号，并说明理由；（3）求证：1+12+13+⋯+1n>lnn+n+12n（n≥2且n∈N*）．第8页（共8页）答案第一部分1.−i【解析】2−i1+2i=2−i1−2i1+2i1−2i=−5i1+4=−i．2.三角形的三个内角都大于60∘【解析】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60∘．3.254.②③①【解析】用三段论的形式写出的演绎推理是：大前提

8、②矩形的对角线相等，小前提③正方形是矩形，结论①正方形的对角线相等．5.±i【解