2017年湖南省邵阳市高三理科一模数学试卷

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1、2017年湖南省邵阳市高三理科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合A=xx2−6x+5≤0，B=xy=x−3，A∩B=  A.1,+∞B.1,3C.3,5D.3,52.复数z=3+i2−i的虚部为  A.1B.−1C.iD.−i3.已知等差数列an中，a2+a4=6，则前5项和S5为  A.5B.6C.15D.304.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为  A.6πB.10π3C.3πD.8π35.点P是双曲线x29−y216=1的右支上一点，M是圆x+52+y2=4上一点，点N的坐标为5,0，则∣PM∣−∣PN∣的最大值为  A.5B.6C.

2、7D.86.如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为2016，612，则输出的m=  第9页（共9页）A.0B.36C.72D.1807.若函数fx=ax−k⋅a−xa>0且a≠1在−∞,+∞上既是奇函数又是增函数，则函数gx=logax+k的大致图象是  A.B.C.D.8.在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m=a,cosA2，n=b,cosB2，p=c,cosC2共线，则△ABC形状为  A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等

3、腰直角三角形9.如图所示，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为15，设直角三角形中较大的锐角为θ，则sinθ=  第9页（共9页）A.55B.255C.33D.2210.抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120∘．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则∣MN∣∣AB∣的最大值为  A.33B.1C.233D.211.设函数fʹx是奇函数fxx∈R的导函数，f−1=0，当x>0时，xfʹx−fx<0，则使得fx>0成立的x的取值范围是  A.−∞,−1∪0,

4、1B.−1,0∪1,+∞C.−∞,−1∪−1,0D.0,1∪1,+∞12.已知函数fx满足：①对任意x∈0,+∞，恒有f2x=2fx成立；②当x∈1,2时，fx=2−x．若fa=f2020，则满足条件的最小正实数a是  A.28B.34C.36D.100二、填空题（共4小题；共20分）13.若二项展开式a+x5的第三项系数为80，则实数a=______．14.已知向量a，b的夹角为60∘，∣a∣=1，∣2a−b∣=7，则∣b∣=______．15.已知数列bn为等比数列，且b1008=e（e为自然对数的底数），数列an首项为1，且an+1=an⋅bn，则lna2016的值为__

5、____．16.已知x，y满足y≥x,x+y≤4,x≥1,则y2−4xy+3x2x2的取值范围为______．三、解答题（共7小题；共91分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=1，sin2A+BsinA=21−cosC．（1）求b的值；（2）若△ABC的面积为32，求c的值．18.如图所示，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C1=B1C1，A1A=A1B1，∠AA1B1=60∘．（1）求证：AB⊥B1C；第9页（共9页）（2）若A1B1=B1C=2，B1C1=2，求二面角C1−AB1−B的余弦值．19.空气质量按照空气质量指数大小分为七档（

6、五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为58，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．20.如图所示，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1，其中a>b>0，F1，F2分别为其左，右焦点，点P是椭圆C上一点，PO⊥F2M，F1M=λMP．（1）当a=22，

7、b=2，且PF2⊥F1F2时，求λ的值；（2）若λ=2，试求椭圆C离心率e的范围．第9页（共9页）21.已知函数fx=x−axlnxa≤0，gx=fxx−1．（1）求函数fx单调区间；（2）当a=−1时，①求函数fx在e−e,e上的值域；②求证：1gkk=2n>3n2−n−2nn+1，其中n∈N，n≥2．（参考数据ln2≈0.6931）22.已知直线l:x=1+12t,y=32t（t为参数），曲线C1:x=cosθ,y=sinθ（θ为参数）．（1）设l与C1相交于A，B两点，求AB；（2）若