2017年北京市海淀区高二理科下学期数学期中考试试卷

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1、2017年北京市海淀区高二理科下学期数学期中考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.复数1−3i的虚部为  A.3iB.1C.3D.−32.xdx01=  A.0B.12C.1D.−123.若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1⋅z2=  A.−2B.2C.−2iD.2i4.若a，b，c均为正实数，则三个数a+1b，b+1c，c+1a这三个数中不小于2的数  A.可以不存在B.至少有1个C.至少有2个D.至多有2个5.定义在R上的函数fx和gx，其各自导函数fʹx和gʹx的图象如图所示，则函数Fx=fx−gx极值点的情况是  A.只有三个极大值点

2、，无极小值点B.有两个极大值点，一个极小值点C.有一个极大值点，两个极小值点D.无极大值点，只有三个极小值点6.函数fx=lnx与函数gx=ax2−a的图象在点1,0的切线相同，则实数a的值为  A.1B.−12C.12D.12或−127.函数y=ex2x−1的大致图象是  A.B.第7页（共7页）C.D.8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那

3、名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是  A.楹联社B.书法社C.汉服社D.条件不足无法判断二、填空题（共6小题；共30分）9.在复平面内，复数1−ii对应的点的坐标为 ．10.设函数fx，gx在区间0,5内导数存在，且有以下数据：x1234fx2341fʹx3421gx3142gʹx2413则曲线fx在点1,f1处的切线方程是 ；函数fgx在x=2处的导数值是 ．11.如图，fx=1+sinx，则阴影部分面积是 ．12.如图，函数fx的图象经过0,0，4,8，8,0，12,8四个点，试用“>，=，<”填空：

4、（1）f4−f22 f12−f84；（2）fʹ6 fʹ10．第7页（共7页）13.已知平面向量a=x1,y1，b=x2,y2，那么a⋅b=x1x2+y1y2；空间向量a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2，那么a⋅b=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：a=a1,a2,⋯,an，b=b1,b2,⋯,bn，那么a⋅b= ．14.函数fx=ex−alnx（其中a∈R，e为自然常数）．①∃a∈R，使得直线y=ex为函数fx的一条切线；②对∀a<0，函数fx的导函数fʹx无零点；③对∀a<0，函数fx总存在零点；则上述结论正确的是 ．（写出所有正确的结论的序号）三、解答题

5、（共4小题；共52分）15.已知函数fx=x3−3x2−9x+2．（1）求函数fx的单调区间；（2）求函数fx在区间−2,2上的最小值．16.已知数列an满足a1=1，an+1+an=n+1−n−1，n∈N*．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明．17.已知函数fx=x−a+1lnx−ax，其中a∈R．（1）求证：当a=1时，函数y=fx没有极值点；（2）求函数y=fx的单调增区间．18.设fx=etx−1−tlnxt>0．（1）若t=1，证明x=1是函数fx的极小值点；（2）求证：fx≥0．第7页（共7页）答案第一部分1.D2.B3.A4.B

6、5.C【解析】Fʹx=fʹx−gʹx，由图象得fʹx和gʹx有3个交点，从左到右分别设为a，b，c，故x∈−∞,a时，Fʹx<0，Fx递减，x∈a,b时，Fʹx>0，Fx递增，x∈b,c时，Fʹx<0，Fx递减，x∈c,+∞时，Fʹx>0，Fx递增，故函数Fx有一个极大值点，两个极小值点．6.C【解析】由题意，fʹx=1x，gʹx=2ax，因为函数fx=lnx与函数gx=ax2−a的图象在点1,0的切线相同，所以fʹ1=gʹ1，所以1=2a，所以a=12．7.A【解析】yʹ=ex2x−1+2ex=ex2x+1，令yʹ=0得x=−12，所以当x<−12时，yʹ<0，当x>−12时，y

7、ʹ>0，所以y=ex2x−1在−∞,−12上单调递减，在−12,+∞上单调递增，因为当x=0时，y=e00−1=−1，所以函数图象与y轴交于点0,−1；令y=ex2x−1=0得x=12，所以fx只有1个零点x=12，当x<12时，y=ex2x−1<0，当x>12时，y=ex2x−1>0，综上，函数图象为A．8.A【解析】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3）（4），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在