2015年北京市海淀区高三理科数学一模试卷

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1、2015海淀一模数学理一、选择题（共8小题；共40分）1.设集合A=x∈Rx>1，B=x∈Rx2≤4，则A∪B= ()A.−2,+∞B.1,+∞C.1,2D.−∞,+∞2.抛物线x2=4y上的点到其焦点的最短距离为 ()A.4B.2C.1D.123.已知a与b的夹角为60∘，a=b=1，则a−b= ()A.3B.3C.2−3D.14.“sinα>0”是“角α是第一象限的角”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.圆x=−1+2cosθ,y=1+2sinθ（θ为参数）被直线y=0截得的劣弧长为 ()A.2π2B.πC.22πD.4

2、π6.若x，y满足x+y≥0,x≥1,x−y≥0,则下列不等式恒成立的是 ()A.y≥1B.x≥2C.x+2y≥0D.2x−y+1≥07.某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是 ()A.B.C.D.8.某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是 ()第10页（共10页）A.第一年到第三年B.第二年到第四年C.第三年到第五年D.第四年到第六年二、填空题（共6小题；共30分）9.已知ai1−i=−1+i，其中i是虚数单位，那么实数a= ．10.执行如图所示的程序框图，输出的i值为 ．11.已知

3、m,4,n是等差数列，那么2m⋅2n= ；mn的最大值为 ．12.在△ABC中，若a=2，c=3，∠A=π4，则∠B的大小为 ．13.社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 ．（用数字作答）14.设fx=x3,x

4、4年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0,10，10,20，20,30，30,40，40,50分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（1）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小；（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．17.如图1，在

5、直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF是正方形．将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．第10页（共10页）（1）求证：BE1⊥DC；（2）求BM与平面CE1M所成角的正弦值；（3）判断直线DM与CE1的位置关系，并说明理由．18.已知函数fx=alnx+1xa≠0．（1）求函数fx的单调区间；（2）若xfx≤0=b,c（其中bb>0过点0,−1，且离心率e=63．（1）求椭圆

6、M的方程；（2）是否存在菱形ABCD，同时满足下列三个条件：①点A在直线y=2上；②点B，C，D在椭圆M上；③直线BD的斜率等于1．如果存在，求出A点坐标；如果不存在，说明理由．20.有限数列An:a1,a2,⋅⋅⋅,ann≥3同时满足下列两个条件：①对于任意的i,j（1≤i

7、.C3.D4.B5.A【解析】提示：圆心为−1,1，半径为2，与y=0交于−2,0，0,0，所以劣弧所对圆心角为π2，劣弧长为2π2．6.D【解析】做出不等式所表示的平面区域，对于阴影区域上的任意的一点都满足不等式2x−y+1≥0成立．7.C【解析】由正视图可知，三棱锥的顶点与底面的投影的连线垂直于底面，所以底面上的另一点与顶点的投影的连线垂直于侧面和底面的交线，所以这个三棱锥的俯视图不可能是选项C．8.A【解析】设年平均增长率为x，则第m年到第n年n−m=2，有ym1+x2=y