2016年北京市海淀区高三理科数学一模试卷.docx

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1、2016届北京市海淀区高三一模数学（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1.函数fx=2x−1的定义域为  A.0,+∞B.1,+∞C.−∞,0D.−∞,12.某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S值为  A.−1B.1C.−iD.i3.若x，y满足x−y+2≥0x+y−4≤0y≥0，则z=12x+y的最大值为  A.52B.3C.72D.44.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为  A.33B.32C.233D.2635.已知数列an的前n项和为Sn，则“an为常数列”是“∀n

2、∈N*，Sn=nan”的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在极坐标系中，圆C1:ρ=2cosθ与圆C2:ρ=2sinθ相交于A，B两点，则∣AB∣=  A.1B.2C.3D.2第11页（共11页）7.已知函数fx=sinx+a,x≤0cosx+b,x>0是偶函数，则下列结论可能成立的是  A.a=π4，b=−π4B.a=2π3，b=π6C.a=π3，b=π6D.a=5π6，b=2π38.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值

3、如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是  A.甲只能承担第四项工作B.乙不能承担第二项工作C.丙可以不承担第三项工作D.丁可以承担第三项工作二、填空题（共6小题；共30分）9.已知向量a=1,t，b=t,9，若a∥b，则t= ．10.在等比数列an中，a2=2，且1a1+1a3=54，则a1+a3的值为 ．11.在三个数12，2−12，log32中，最小的数是 ．12.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的一条渐近线l的倾斜角为π3，且C的一个焦点到l的距离

4、为3，则C的方程为 ．13.如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3中的一个．（i）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有 种；（ii）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有 种．14.已知函数fx，对于实数t，若存在a>0，b>0，满足：∀x∈t−a,t+b，使得∣fx−ft∣≤2，则记a+b的最大值为Ht．（i）当fx=2x时，H0= ．（ii）当fx=x2且t∈1,2时，函数Ht的值域为 ．三、解答题（共6小题；共78分）第11页（共11页）15.如图，在△ABC中，点D在

5、边AB上，且ADDB=13．记∠ACD=α，∠BCD=β．（1）求证：ACBC=sinβ3sinα；（2）若α=π6，β=π2，AB=19，求BC的长．16.2014年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株

6、青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（1）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（2）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为S12，S22，根据样本数据，试估计S12与S22的大小关系（只需写出结论）；（3）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求证：

7、当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四个点在同一个平面内；（3）当PA=AB=2，二面角C−AN−D的大小为π3时，求PN的长．第11页（共11页）18.已知函数fx=lnx+1x−1，gx=x−1lnx．（1）求函数fx的最小值；（2）求函数gx的单调区间；（3）求证：直线y=x不是曲线y=gx的切线．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，椭圆C与y轴交于A，B两点，且∣AB∣=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线

8、x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及∣EF∣的最大值．20.给定正整数nn≥3集合Un=1,2,⋯,n．若存在集合A，B，C同时满足下列条件：①Un=A∪B∪C，且A∩B=B∩C=A∩C=∅；②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C中（集合C中还可以包含其它数）；③集合A，B，C中各元素之和分别