2015年北京市海淀区高三理科数学二模试卷

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1、2015年北京海淀高考二模数学（理）一、选择题（共8小题；共40分）1.已知全集U=Z，集合A=1,2，A∪B=1,2,3,4，那么∁UA∩B= ()A.∅B.x∈Zx≥3C.3,4D.1,22.设a=0.23，b=log20.3，c=20.3，则 ()A.b

2、5.已知函数fx=cos2x+φ（φ为常数）是奇函数，那么cosφ= ()A.−22B.0C.22D.16.已知函数fx的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计fxdx01的值约为 ()A.99100B.310C.910D.10117.已知fx是定义域为R的偶函数，当x≤0时，fx=x+13ex+1．那么函数fx的极值点的个数是 ()A.5B.4C.3D.28.若空间中有nn≥5个点，满足任意四点都不共面，且任意两点的连线都与其余任意三点确定的平面垂直，则这样的n值 ()

3、A.不存在B.有无数个C.等于5D.最大值为8二、填空题（共6小题；共30分）第11页（共11页）9.若等比数列an满足a2a6=64，a3a4=32，则公比q= ；a12+a22+⋯+an2= ．10.如图，在△ACB中，∠ACB=120∘，AC=BC=3，点O在BC边上，且圆O与AB相切于点D，BC与圆O相交于点E，C，则∠EDB= ，BE= ．11.下图表示的是求首项为−41，公差为2的等差数列an前n项和的最小值的程序框图，①处可填写 ；②处可填写 ．12.若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是 ．13.用红、黄、蓝三种

4、颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 ．（用数字作答）14.设关于x,y的不等式组3x−4≥0,y−13x+y−6≤0表示的平面区域为D，已知点O0,0，A1,0，点M是D上的动点，OA⋅OM=λOM，则λ的取值范围是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.在△ABC中，c=5，b=26，a=362cosA．（1）求a的值；（2）求证：∠B=2∠A．第11页（共11页）16.某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下（单位：米）：男生投掷距离女生投掷距离

5、9775.468766.4556669667.0024455558855308.173119.22010.已知该项目评分标准为：男生投掷距离米⋯5.4,6.06.0,6.66.6,7.47.4,7.87.8,8.68.6,10.010.0,+∞女生投掷距离米⋯5.1,5.45.4,5.65.6,6.46.4,6.86.8,7.27.2,7.67.6,+∞个人得分分⋯45678910注：满分10分，且得9分以上（含9分）定为“优秀”．（1）求上述20名女生得分的中位数和众数；（2）从上述20名男生中，随机抽取2名，求抽取的2名男生中优秀人数X的分布列；（3）根据以上样本数据和你所学的统计

6、知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况．（写出两个结论即可）17.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点．（1）若BM=2MP，求证：PD∥平面MAC；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；（3）在（2）的条件下，若二面角B−AC−M的余弦值为23，求PMPB的值．18.已知函数fx=1−lnxx2．（1）求函数fx的零点及单调区间；（2）求证：曲线y=lnxx存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0<−1．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上的点到它的两

7、个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．（1）求圆O和椭圆C的方程；（2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．第11页（共11页）20.对于数列A:a1,a2,⋯,an，经过变换T:交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列TA．例如，数列A:a1,⋯,