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1、2015年山西省朔州市怀仁一中高二理科上学期人教A版数学第四次月考试卷一、选择题(共12小题;共60分)1.命题“若A⊆B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有 A.0个B.2个C.3个D.4个2.已知命题p:∀x∈R,x2+2x+2>0,则¬p是 A.∃x0∈R,x02+2x0+2<0B.∀x∈R,x2+2x+2<0C.∃x0∈R,x02+2x0+2≤0D.∀x∈R,x2+2x+2≤03.下列有关命题的说法错误的是 A.命题“若x2−1=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2−1≠0”B.“x=
2、1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件C.若集合A=xkx2+4x+4=0中只有一个元素,则k=1D.对于命题p:∃x∈R,使得x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,均有x2+x+1≥04.已知向量a=1,1,0,b=−1,0,2,且ka+b与2a−b互相垂直,则k的值是 A.1B.15C.35D.755.已知向量a=1,1,0,,b=0,1,1,c=1,0,1,d=1,0,−1,则其中共面的三个向量是 A.a,b,cB.a,b,dC.a,c,dD.b,c,d6.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD
3、与平面BDC1所成角的正弦值等于 A.23B.33C.23D.137.方程x+y−1x2+y2−4=0所表示的曲线是 A.B.C.D.8.椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为 A.−21B.21C.−1925或21D.1925或21第11页(共11页)9.已知双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的离心率为53,则双曲线C的渐近线方程为 A.y=±34xB.y=±43xC.y=±63xD.y=±62x10.长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形,若在侧棱AA1上至少存在一点E,使得∠C
4、1EB=90∘,则侧棱AA1的长的最小值为 A.aB.2aC.3aD.4a11.已知函数gx=ax+a,fx=x2−1,0≤x≤2−x2,−2≤x<0,若对任意的x1∈−2,2,存在x2∈−2,2,使gx1=fx2成立,则a的取值范围是 A.−43,+∞B.−43,1C.0,1D.−∞,112.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点,且PF1PF2的最大值的取值范围是2c2,3c2,其中c=a2−b2.则椭圆的离心率的取值范围为 A.33,22B.22,1C.33,1D.13,12二、
5、填空题(共4小题;共20分)13.已知:A=xx−1<2,B=x−16、点A,B关于原点对称,则k1⋅k2的值为 .第11页(共11页)三、解答题(共6小题;共78分)17.已知命题p:方程x2k+y24−k=1表示焦点在x轴上的椭圆,命题q:方程k−1x2+k−3y2=1表示双曲线.若p∨q为真,p∧q为假,求实数k的取值范围.18.根据下列条件分别求椭圆的标准方程:(1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为435和235,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;(2)经过两点A0,2和B12,3.19.已知A为椭圆x24+y2=1上的点,过A作AB⊥x轴,垂足为B,延长BA到C使
7、得∣AB∣=∣AC∣.(1)求点C的轨迹方程;(2)若直线l过点D2,3且与点C的轨迹只有一个公共点,求l的方程.20.如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90∘,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D−ABC,如图2所示.(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)求二面角A−CD−M的余弦值.21.已知点D1,2在双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上,且双曲线的一条渐近线的方程是3x+y=0.(1)求双曲线C的方程;(2)过点0,1且斜率为k的
8、直线l与双曲线C交于A,B两个不同点,若以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点,求实数k的值.22.如图,椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点是F1,0,O为坐标原点.(1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构