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1、2015-2016学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高三上第四次月考数学(文科)一、选择题(共12小题;共60分)1.设集合M=xx+3x−2<0,N=x1≤x≤3,则M∩N=______A.1,2B.1,2C.2,3D.2,32.设i是虚数单位,复数1+ai2−i为纯虚数,则实数a为 A.2B.−2C.−12D.123.已知向量a=1,k,b=2,2,且a+b与a共线,那么a⋅b的值为 A.1B.2C.3D.44.设变量x,y满足约束条件x≥1,x+y−4≤0,x−3y+4≤0,则目标函数z=3x−y的最大值为 A.−4B.0C.43D.45.若△
2、ABC的内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB= A.154B.34C.31516D.11166.设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30∘的等腰三角形,则E的离心率为 A.12B.23C.34D.457.设a=log1312,b=log1323,c=log343则a,b,c的大小关系是 A.a
3、.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为23,它的三视图中的俯视图如图所示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是 A.4B.23C.2D.310.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积为 A.1升B.6766升C.4744升D.3733升11.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点4,1,则两圆心的距离C1C2= A.4B.42C.8D.8212.若存在正数x使2xx−a<1成立,则a的取值范围是 A.−∞,+∞B.−2,+∞C.0,+∞D.
4、−1,+∞二、填空题(共4小题;共20分)13.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是______.14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为9π2,则正方体的棱长为______.15.已知函数fx=ex−2x+a有零点,则a的取值范围是______.16.函数y=cos2x+φ−π≤φ≤π的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin2x+π3的图象重合,则φ=______.三、解答题(共6小题;共78分)17.设Sn为数列an的前n项和,已知a1≠0,2an−a1=S1⋅Sn,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列an的通项公式;(
5、2)求数列nan的前n项和.18.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a.(1)求ba;(2)若c2=b2+3a2,求B.19.如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120∘,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,点P是线段AD上异于端点的点.(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,请说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1−QC1D的体积.(锥体体积公式:V=13S
6、h,其中S为底面面积,h为高)20.设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2.点Pa,b满足PF2=F1F2.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆x+12+y−32=16相交于M,N两点,且MN=58AB,求椭圆的方程.21.设函数fx=x3+2ax2+bx+a,gx=x2−3x+2,其中x∈R,a,b为常数,已知曲线y=fx与y=gx在点2,0处有相同的切线l.(1)求a,b的值,并写出切线l的方程;(2)若方程fx+gx=mx有三个互不相同的实根0,x1,x2,其中x17、对任意的x∈x1,x2,fx+gx([2{a_1}-{a_1}=a_1^2,])
即a1=a12.因为a1≠0,所以a1=
8、1.令n=2,得
([2{a_2}-1={S_2}=1+{a_2},