2014年陕西省西安市第一中学高二理科下学期数学期中考试试卷

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1、2014年陕西省西安市第一中学高二理科下学期数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.已知复数z=2−ii（i为虚数单位），则z=  A.1+2iB.−1+2iC.−1−2iD.1−2i2.函数y=xsinx+x的导数是  A.yʹ=sinx+xcosx+12xB.yʹ=sinx−xcosx+12xC.yʹ=sinx+xcosx−12xD.yʹ=sinx−xcosx−12x3.下列不等式一定成立的是  A.lgx2+14>lgxx>0B.sinx+1sinx≥2x≠kπ,k∈ZC.x2+1≥2∣x∣x∈RD.1x2+1>1x∈R4.曲线y=x3−2x+

2、4在点1,3处的切线的斜率为  A.2B.1C.−2D.−15.函数y=1+3x−x3有  A.极小值−1，极大值1B.极小值−2，极大值3C.极小值−2，极大值2D.极小值−1，极大值36.设fʹx是函数fx的导函数，y=fʹx的图象如图所示，则y=fx的图象最有可能的是  A.B.C.D.7.由直线x=12，x=2，曲线y=1x及x轴所围成的平面图形的面积是  A.154B.174C.12ln2D.2ln28.若曲线fx=x⋅sinx在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于  A.2B.1C.−2D.−19.函数fx=2x2−lnx的递

3、增区间是______A.0,12B.−12,0和12,+∞C.12,+∞D.−∞,−12和0,1210.设fx，gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，fʹxgx+fxgʹx>0，且g3=0．则不等式fxgx<0的解集是  A.−3,0∪3,+∞B.−3,0∪0,3C.−∞,−3∪3,+∞D.−∞,−3∪0,3二、填空题（共5小题；共25分）11.已知fx=ax3+3x2+2，若fʹ−1=4，则a=______．12.过原点作曲线y=ex的切线，则切线斜率是______．13.观察下列不等式：1+122<32，1+122+133<53，1+122+132

4、+142<74，⋯⋯照此规律，第五个不等式为______．14.用数学归纳法证明：n+1n+2⋯n+n=2n×1×3×⋯×2n−1n∈N+时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的代数式______．15.设fx=x−ax−bx−c（a,b,c是不相等的常数），则afʹa+bfʹb+cfʹc=______．三、解答题（共4小题；共52分）16.（10分）已知数列11×2，12×3，13×4，⋯，1n×n+1，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．17.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤

5、13；（2）a2b+b2c+c2a≥1．18.已知函数fx=x3−ax2−3x．（1）若x=−13是fx的极大值点，求fx在1,a上的最大值；（2）在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数gx=bx的图象与函数fx的图象恰有3个交点，若存在，求出b的取值范围，若不存在，说明理由．19.已知函数fx=x−alnxa∈R．（1）当a=2时，求曲线y=fx在点A1,f1处的切线方程；（2）求函数fx的极值．答案第一部分1.A2.A3.C4.B5.D6.C7.D8.A9.C10.D第二部分11.10312.e13.1+122+132+142+152+162<11614.

6、22k+115.0第三部分16.S1=12，S2=23，S3=34，S4=45，猜想：Sn=nn+1，n∈N*．用数学归纳法证明：（1）当n=1时，S1=12，S1=11×2，等式成立．（2）假设当n=k时，Sk=kk+1成立，则当n=k+1时，Sk+1=Sk+1k+1k+2=kk+1+1k+1−1k+2=1−1k+2=k+1k+1+1,即当n=k+1时，等式也成立．根据（1）（2）可知猜想任何n∈N*都成立．17.（1）由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得a+b+c2=1，即a2+b2+c2

7、+2ab+2bc+2ca=1.所以3ab+bc+ca≤1，即ab+bc+ca≤13.      （2）因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2a+b+c,即a2b+b2c+c2a≥a+b+c,所以a2b+b2c+c2a≥1.18.（1）fʹ−13=0得a=4，fʹx=3x2−8x−3=3x+1x−3，在区间1,4上，fx在1,3上为减函数，在3,4上为增函数．而f1=−6，f4=−12，所以fxmax=−6．      （2）问题即为是否存在实数b，使得函数x3−4x2−3x=bx恰有3个不同实根．方程可化

8、为xx2−