2014年福建省莆田市高三理科一模数学试卷

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1、2014年福建省莆田市高三理科一模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.已知i为虚数单位，集合P=1,−1，Q=i,i2．若P∩Q=zi，则复数z等于  A.1B.−1C.iD.−i2.已知x,y∈R，若p：x<1且y<1，q：x+y≥2．则p是¬q的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.阅读如图所示的程序框图，执行相应的程序，则输出的S值为  A.31B.32C.63D.644.函数y=2x⋅∣x∣x的图象大致形状是  A.B.C.D.5.平面向量a与b的夹角为120∘，a=2,0，b=1，则a

2、+2b=  A.4B.3C.2D.36.某次月考后，从所有考生中随机抽取50名考生的数学成绩进行统计，并画频率分布直方图，如图所示，则该次考试数学成绩的众数的估计值是  A.70B.7123C.75D.807.定义在R上的奇函数fx满足fx+4=fx，且在0,1上单调递增，下列关系式正确的是  A.0

3、.4个10.在平面直角坐标系内，直线l的方程为ax+by+c=0，设Ax1,y1，Bx2,y2为不同的两点，且点B不在直线l上，实数λ满足ax1+by1+c+λax2+by2+c=0，给出下列四个命题：①不存在λ，使点A在直线l上；②存在λ，使曲线x−x1x−x2+y−y1y−y2=0关于直线l对称；③若λ=−1，则过A，B两点的直线与直线l平行；④若λ>0，则点A，B在直线l的异侧．其中，所有真命题的序号是  A.①②④B.③④C.①②③D.②③④二、填空题（共5小题；共25分）11.计算∫−11xdx= ．12.若sinα=2cosα，则tanπ

4、−α= ．13.如图，等边△DEF的顶点D，E，F分别在等边△ABC的边AB，BC，CA上，若在△ABC内随机取一点，则该点取自△DEF内部的概率的最小值为 ．14.若双曲线x2−y2b2=1b>0的焦点到其渐近线的距离等于抛物线y2=2px上点M1,2到其准线的距离，则实数b= ．15.若实数a，b，c同时满足以下三个条件：①b+13a−132+c−ma2+a−m2−m2=0；②任意a∈R，b<0或c<0；③存在a∈−∞,−1，使得bc<0．则实数m的取值范围是 ．三、解答题（共6小题；共78分）16.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原

5、点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈π4,π2，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B，过B作BC⊥y轴于点C．（1）若点A的纵坐标为32，求点B的横坐标；（2）求△AOC的面积S的最大值．17.在数列an中，a1=1，a2=2，记AnAn+1=an,an+1n∈N*，且A1A2∥AnAn+1对任意n∈N*恒成立．（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在等差数列bn，使得a1b1+a2b2+⋯+anbn=2n−32n+3对任意n∈N*都成立?若存在，求出数列bn的通项公式；若不存在，请说明理由．18.如图，在棱长为

6、1的正方体ABCD−A1B1C1D1中．（1）求证：B1D⊥平面A1BC1；（2）已知动点K满足B1K=λB1D0<λ<1，①当λ= 时，A1，C1，K三点确定的平面截该正方体所得的截面多边形为矩形（直接填空，不必证明）；②若点K∈平面A1BC1，求D1K与平面A1BC1所成角α的正弦值．19.莆田往厦门的某次动车途中经停泉州、晋江两站，为了方便莆田市VIP客户搭乘，车站信息管理员对该次动车VIP车厢（共6个座位）莆田至厦门的全程空座位数n进行统计，得到10个车次的样本数据的茎叶图如图所示（全程空座位数即莆田至泉州、泉州至晋江、晋江至厦门三个站段的空

7、座位数之和）．（1）求样本平均数n；（2）某天，VIP客户李明因急事凭身份证从莆田搭乘该次动车，补买VIP车厢无座票（没有座位，若有空座则可就座）前往厦门，且途中不再更换车厢．若以样本平均数n估计该次动车VIP车厢的全程空座位数，且在3个站段共18个座位中，每个座位成为空座位是等可能的．①求李明在莆田至泉州站段有座位坐的概率：②记李明途中有座位坐的站段数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．20.如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点P1,32，且离心率e=32，Mm,n是椭圆C上的动点，直线l的方程为mx+nx=1．（1）求椭圆C的方

8、程；（2）直线l与圆x2+y2=b2相交于A，B两点，求∣AB∣的最大值；（3）求出与直线l恒相切的定椭圆C