2014年福建省莆田市高三文科一模数学试卷

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1、2014年福建省莆田市高三文科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知i为虚数单位，集合P=2,zi，Q=1,3，若P∩Q=1，则复数z等于  A.1B.iC.−1D.−i2.已知各项为正数的等比数列an，a3a7=1，a6=2，则公比等于  A.−2B.12C.2D.±23.已知函数fx=−x,x≥0−x,x<0，则ff4的值为  A.−2B.2C.−2D.24.在平行四边形ABCD中，AB=2,4，AC=1,3，则AD等于  A.1,1B.−1,−1C.1,−1D.3,75.已知x,y

2、∈R，若p：x<1且y<1，q：x+y≥2．则p是¬q的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某次月考后，从所有考生中随机抽取50名考生的数学成绩进行统计，并画频率分布直方图，如图所示，则该次考试数学成绩的众数的估计值是  A.70B.7123C.75D.807.已知函数fx=x+4x+1x≥0，则fx的最小值为  A.1B.2C.3D.48.已知实数x，y满足x+y≥1,x−y≤1,y≤2,则2x−y的取值范围是  A.−4,4B.−4,2C.−2,4D.

3、2,49.某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是  A.0B.4C.7D.2810.若某组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为  A.103B.283C.10D.1211.函数y=π2−x2与y=tanx的图象交点的个数为  A.1B.2C.3D.412.在平面直角坐标系内，直线l的方程为ax+by+c=0，设Ax1,y1，Bx2,y2为不同的点，且点B不在直线l上，实数λ满足ax1+by1+c+λax2+by2+c=0．给出下列四个命题：①不存在λ，使点A

4、在直线l上；②存在λ，使直线l经过线段AB的中点；③若λ=−1，则过A，B两点的直线与直线l平行；④若λ>0，则点A，B在直线l的异侧．其中，所有真命题的序号是  A.①②④B.②③C.①②③D.②③④二、填空题（共4小题；共20分）13.计算：sin210∘的值为 ．14.若双曲线x2−y2b2=1b>0的焦点到其渐近线的距离等于抛物线y2=4x的焦点到其准线的距离，则该双曲线的离心率e等于 ．15.如图，等边△DEF的顶点D，E，F分别在等边△ABC的边AB，BC，CA上，且ADDB=12，若在△A

5、BC内随机取一点，则该点取自△DEF内部的概率为 ．16.已知函数fx=2x2x+1，函数gx=asinπ6x−2a+2a>0，若存在x1∈0,1，对任意x2∈0,1都有fx1=gx2成立，则实数a的取值范围是 ．三、解答题（共6小题；共78分）17.在数列an中，a1=1，1an−1an+1=2anan+1n∈N*．（1）求证数列an为等差数列，并求出它的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得S1+S22+S33+⋯+Snn−n−122=2014成立?若存在，求出n的值；若

6、不存在，请说明理由．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈π4,π2，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B，过B作BC⊥y轴于点C．（1）若点A的纵坐标为32，求点B的横坐标；（2）求△AOC的面积S的最大值．19.如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，且A1A=AB=BC=1，CD=2．（1）求证：AB1⊥平面A1BC；（2）在线段CD上是否存在点N，使得D1N∥平面A1

7、BC?若存在，求出此时三棱锥N−AA1C的体积；若不存在，请说明理由．20.莆田往福州的某次动车途中经停福清站，为了方便莆田市VIP客户搭乘，车站信息管理员对该次动车VIP车厢（共4个座位）莆田至福州的全程空座位数n进行统计，得到10个车次样本数据的茎叶图，如图所示．（全程空座位数即莆田至福清、福清至福州两个站段的空座位数之和）（1）求样本平均数n；（2）某天，VIP客户李明因有急事凭身份证从莆田搭乘该次动车，补买VIP车厢无座票（没有座位，若有空座位则可就坐）前往福州，且途中不再更换车厢，若以样本平均

8、数n估计该次动车VIP车厢的全程空座位数，且在两个站段共8个座位中，每个座位成为空座位数是等可能的．①将VIP车厢第i号座位在莆田至福清站段标记为ai，在福清至福州站段标记为bii=1,2,3,4，请列举出途中出现n个空座位所有的可能结果；②求李明在途中恰有一个站段有座位坐的概率．21.如图，设P是圆O:x2+y2=a2上的任意一点，过点P与x轴垂直的直线与x轴交于点Q，点M满足aQM=bQPa>b>c．当点P在圆O上运动时，记点M的轨迹为