2013年北京朝阳高考二模数学（理）

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2013年北京朝阳高考二模数学（理）一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合M=0,1,3，集合N=xx=3a,a∈M，则M∪N=______A.0B.0,3C.1,3,9D.0,1,3,92.若x2+mx01dx=0，则实数m的值为______A.−13B.−23C.−1D.−23.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是______A.n>6?B.n≥7?C.n>8?D.n>9?4.若双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是______A.3,+∞B.3,+∞C.1,3D.1,35.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______A.16B.13C.23D.1第9页（共9页） 6.某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有______A.10种B.12种C.18种D.36种7.已知函数fx=a⋅2x+1（a≠0），定义函数Fx=fx,x>0,−fx,x<0.给出下列命题：①Fx=fx；②函数Fx是奇函数；③当a<0时，若mn<0，m+n>0，总有Fm+Fn<0成立．其中所有正确命题的序号是______A.②B.①②C.③D.②③8.点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则PA⋅PC1的取值范围是______A.−1,−14B.−12,−14C.−1,0D.−12,0二、填空题（共6小题；共30分）9.i为虚数单位，计算3+i1+i=______．10.若直线l与圆C:x=2cosθ,y=−1+2sinθ（θ为参数）相交于A，B两点，且弦AB的中点坐标是1,−2，则直线l的倾斜角为______．11.如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC=4，PB=8，则tan∠COP=______，△OBC的面积是______．12.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买______吨．13.将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组3x+4y≤19,x≥1,y≥1所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是______．14.数列2n−1的前n项1,3,7,⋯,2n−1组成集合An=1,3,7,⋯,2n−1n∈N*，从集合An中任取k（k=1,2,3,⋯,n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+⋯+Tn．例如当n=1时，A1=1，T1=1，S1=1；当n=2时，A2=1,3，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．则当n=3时，S3=______；试写出Sn=______．三、解答题（共6小题；共78分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且fA=2cosA2sinπ−A2+sin2A2−cos2A2．（1）求函数fA的最大值；第9页（共9页） （2）若fA=0，C=5π12，a=6，求b的值．16.如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面 ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（1）求证：FG∥平面 PDE；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（3）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60∘?若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．17.为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩分9070604030人数名461073（1）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加"数独比赛"的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A或B”的概率；（2）根据（1）的结论，若从该地区参加"数独比赛"的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；（3）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．18.已知函数fx=mxx2+1+1（m≠0），gx=x2eaxa∈R．（1）求函数fx的单调区间；（2）当m>0时，若对任意x1,x2∈0,2，fx1≥gx2恒成立，求a的取值范围．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F1,0，短轴的端点分别为B1，B2，且FB1⋅FB2=−a．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且斜率为kk≠0的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求DPMN的取值范围．20.已知实数x1,x2,⋯,xn（n∈N*且n≥2）满足xi≤1（i=1,2,⋅⋅⋅,n），记Sx1,x2,⋯,xn=xixj1≤in，当m=90时，n=60或40或30，其基本事件数为C41⋅C101+C71+C31；当m=70时，n=40或30，其基本事件数为C61⋅C71+C31；当m=60时，n=30，其基本事件数为C101⋅C31；第9页（共9页） 所以PM=C41⋅C101+C71+C31+C61⋅C71+C31+C101⋅C31C302=3487.所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为3487．18.（1）函数fx的定义域为R，fʹx=m1−x2x2+12=m1−x1+xx2+12．①当m>0时，当x变化时，fʹx，fx的变化情况如下表：x−∞,−1−1,11,+∞fʹx−+−fx↘↗↘所以，函数fx的单调递增区间是−1,1，单调递减区间是−∞,−1，1,+∞．②当m<0时，当x变化时，fʹx，fx的变化情况如下表：x−∞,−1−1,11,+∞fʹx+−+fx↗↘↗所以，函数fx的单调递增区间是−∞,−1，1,+∞，单调递减区间是−1,1．      （2）依题意，“当m>0时，对于任意x1,x2∈0,2，fx1≥gx2恒成立”等价于“当m>0时，对于任意x∈0,2，fxmin≥gxmax成立”．当m>0时，由（1）知，函数fx在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，因为f0=1，f2=2m5+1>1，所以函数fx的最小值为f0=1．所以应满足gxmax≤1．因为gx=x2eax，所以gʹx=ax2+2xeax．①当a=0时，函数gx=x2，∀x∈0,2，gxmax=g2=4，显然不满足gxmax≤1，故a=0不成立．②当a≠0时，令gʹx=0得，x1=0，x2=−2a．i）当−2a≥2，即−1≤a<0时，在0,2上gʹx≥0，所以函数gx在0,2上单调递增，所以函数gxmax=g2=4e2a．由4e2a≤1得，a≤−ln2，所以−1≤a≤−ln2．ii）当0<−2a<2，即a<−1时，在0,−2a上gʹx≥0，在−2a,2上gʹx<0，所以函数gx在0,−2a上单调递增，在−2a,2上单调递减，所以gxmax=g−2a=4a2e2．由4a2e2≤1得，a≤−2e，所以a<−1．iii）当−2a<0，即a>0时，显然在0,2上gʹx≥0，函数gx在0,2上单调递增，且gxmax=g2=4e2a．显然gxmax=4e2a≤1不成立，故a>0不成立．综上所述，a的取值范围是−∞,−ln2．第9页（共9页） 19.（1）依题意不妨设B10,−b，B20,b，则FB1=−1,−b，FB2=−1,b．由FB1⋅FB2=−a，得1−b2=−a．又因为a2−b2=1，解得a=2，b=3．所以椭圆C的方程为x24+y23=1．      （2）依题意可设直线l的方程为y=kx−1．由y=kx−1,x24+y23=1得3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0.设Mx1,y1，Nx2,y2，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2．所以弦MN的中点为P4k23+4k2,−3k3+4k2．所以MN=x1−x22+y1−y22=k2+1x1+x22−4x1x2=k2+164k43+4k22−44k2−123+4k2=12k2+14k2+3.直线PD的方程为y+3k4k2+3=−1kx−4k24k2+3,由y=0，得x=k24k2+3，则Dk24k2+3,0．所以DP=3k2k2+14k2+3.所以DPMN=3k2k2+14k2+312k2+14k2+3=14k2k2+1=141−1k2+1.又因为k2+1>1，所以0<1k2+1<1，所以0<141−1k2+1<14．所以DPMN的取值范围是0,14．20.（1）由已知得S−1,1,−23=−1+23−23=−1．S1,1,−1,−1=1−1−1−1−1+1=−2．      （2）n=3时，S=Sx1,x2,x3=xixj1≤i